Реши задание на изображении
Проверка вычислений производной
Мне нужно быть внимательным, чтобы неправильно не вычислить производную ∛x, особенно при x=1. Я удостоверюсь, что точно вычисляю f'(x): u=x²-1+∛x, откуда f'=u'/(2√u). При x=1 f(1)=1, и я получаю f'(1) = [2 + 1/3]/(2*1) = 7/6, значит, 6 f'=7. Интересно, можно ли упростить вычисления, используя правило цепочки. Также стоит ли мне привести похожий пример? Посмотрим, имеет ли смысл добавить его после основного вычисления.
Ответ: \(\boxed{7}\).
Пусть \[ f(x)=\sqrt{x^2-1+\sqrt[3]{x}}. \]
По правилу производной сложной функции: \[ f'(x)=\frac{2x+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}} {2\sqrt{x^2-1+\sqrt[3]{x}}}. \]
Подставим \(x=1\): \[ f'(1)=\frac{2+\frac13}{2\sqrt{1-1+1}} =\frac{\frac73}{2} =\frac76. \]
Тогда \[ 6f'(1)=6\cdot\frac76=\boxed{7}. \]
