Реши задание на изображении

Ответ: \(\boxed{24^\circ}\).

Пусть \(AB=a\), а \(BC=AK=b\). Расположим:

\[ B=(0,0),\qquad A=(a,0). \]

Так как \(\angle ABC=48^\circ\), то

\[ C=(b\cos48^\circ,\; b\sin48^\circ). \]

Поскольку \(AK=b\), точка \(K\) имеет координаты

\[ K=(a-b,0). \]

1. Найдём координаты середин

\(P\) — середина \(BK\):

\[ P=\left(\frac{a-b}{2},0\right). \]

\(M\) — середина \(AC\):

\[ M=\left(\frac{a+b\cos48^\circ}{2},\frac{b\sin48^\circ}{2}\right). \]

Вектор \(\overrightarrow{PA}\) направлен вдоль \(AB\), то есть горизонтально.

Для вектора \(\overrightarrow{PM}\):

\[ \overrightarrow{PM} =\left(\frac{b(1+\cos48^\circ)}2,\frac{b\sin48^\circ}2\right). \]

Поэтому

\[ \tan\angle APM =\frac{\sin48^\circ}{1+\cos48^\circ}. \]

Используем формулу половинного угла:

\[ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\tan\frac{\alpha}{2}. \]

Тогда

\[ \tan\angle APM=\tan24^\circ, \]

значит,

\[ \boxed{\angle APM=24^\circ}. \]