Реши задание на изображении

Краткий ответ:

\[ \boxed{\overrightarrow{CK}=1\vec a+0\vec b} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{KD}=-1\vec a+1\vec b} \]

\[ \boxed{\overrightarrow{BC}=-\frac12\vec a+\frac12\vec b} \]

Решение.

Обозначим:

\[ \overrightarrow{BC}=\vec x. \]

Так как основание \(AD\) втрое больше основания \(BC\), то

\[ \overrightarrow{AD}=3\vec x. \]

Замкнутый обход трапеции даёт:

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=0. \]

Подставим известные векторы:

\[ -\vec a+\vec x+\vec b-3\vec x=0, \]

\[ -2\vec x+\vec b-\vec a=0, \]

\[ \vec x=\overrightarrow{BC}=\frac12(\vec b-\vec a). \]

Значит,

\[ \overrightarrow{BC}=-\frac12\vec a+\frac12\vec b. \]

Кроме того,

\[ \overrightarrow{AK}=\frac13\overrightarrow{AD} =\frac13\cdot3\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{BC}=\vec x. \]

Тогда

\[ \overrightarrow{CK} =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK} =-\vec x+\vec a+\vec x =\vec a. \]

И

\[ \overrightarrow{KD} =\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD} =-\vec x+3\vec x =2\vec x =\vec b-\vec a. \]