Как решать квадратные неравенства
Кратко: чтобы решить квадратное неравенство, нужно найти корни квадратного трёхчлена, отметить их на числовой прямой и выбрать интервалы, где выражение имеет нужный знак.
Рассмотрим неравенство вида
\[ ax^2+bx+c \gtrless 0,\qquad a\ne 0. \]
Алгоритм
- Перенеси все слагаемые в одну сторону.
- Найди дискриминант:
\[ D=b^2-4ac. \]
- Найди корни, если \(D\ge 0\):
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
- Расположи корни по возрастанию: \(x_1<x_2\).
- Определи знаки на промежутках.
Если \(D>0\):
- при \(a>0\) знаки идут так:
\[ +\quad -\quad + \]
то есть положительные значения — снаружи корней, отрицательные — между корнями;
- при \(a<0\) знаки идут наоборот:
\[ -\quad +\quad - \]
Как включать корни
- при \(>\) и \(<\) корни не включаются;
- при \(\ge\) и \(\le\) корни включаются.
Пример
Решим:
\[ 2x^2-5x-3\ge 0. \]
Находим дискриминант:
\[ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49. \]
Корни:
\[ x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{5+7}{4}=3. \]
Так как \(a=2>0\), выражение положительно вне корней. Требуется \(\ge0\), поэтому корни включаем:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac12\right]\cup[3;+\infty)}. \]
Проверка
- \(x=0\): \(2\cdot0^2-5\cdot0-3=-3<0\), поэтому промежуток между корнями не подходит.
- \(x=4\): \(2\cdot16-20-3=9>0\), поэтому \(4\) подходит.
Если \(D<0\), корней нет, и выражение всё время имеет знак коэффициента \(a\):
- \(a>0\) — выражение всегда положительно;
- \(a<0\) — выражение всегда отрицательно.
