Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), потому что \(M\) и \(N\) являются серединами сторон \(AB\) и \(AC\), а \(MN\parallel BC\).
Доказательство:
Через точку \(C\) проведём прямую \(CD\parallel AB\), пересекающую прямую \(MN\) в точке \(D\).
Так как \(MN\parallel BC\), а \(CD\parallel AB\), то четырёхугольник \(BCDM\) — параллелограмм. Поэтому его противоположные стороны равны: \[ MB=CD. \]
Точка \(M\) — середина \(AB\), значит: \[ AM=MB. \] Следовательно, \[ AM=CD. \]
Рассмотрим треугольники \(AMN\) и \(CDN\). У них:
- \(AM=CD\);
- \(\angle MAN=\angle NCD\), так как \(AB\parallel CD\);
- \(\angle AMN=\angle CDN\), так как \(AB\parallel CD\).
Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому соответствующие стороны равны: \[ AN=NC. \]
Значит, \(N\) — середина стороны \(AC\). Точки \(M\) и \(N\) — середины двух сторон треугольника \(ABC\), а \(MN\parallel BC\). Следовательно, \(MN\) является средней линией треугольника \(ABC\).
