Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- 57–58: все функции чётные.
- 59–60: все функции нечётные.
Принцип
Функция чётная, если область определения симметрична относительно нуля и
\[ f(-x)=f(x). \]
Функция нечётная, если
\[ f(-x)=-f(x). \]
Используем свойства:
\[ \cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x,\qquad |-x|=|x|. \]
Области определения всех функций симметричны: если исключается \(x=a\), то также исключается \(x=-a\).
57. Чётность функций
а) \(f(x)=3x^2+x^4\)
\[ f(-x)=3(-x)^2+(-x)^4=3x^2+x^4=f(x). \]
Функция чётная.
б) \(f(x)=x^2-\dfrac1{x^2}\)
\[ f(-x)=(-x)^2-\frac1{(-x)^2} =x^2-\frac1{x^2}=f(x). \]
Функция чётная, \(x\ne0\).
в) \(f(x)=x^2\cos x\)
\[ f(-x)=(-x)^2\cos(-x) =x^2\cos x=f(x). \]
Функция чётная.
г) \(f(x)=4x^6-x^2\)
\[ f(-x)=4(-x)^6-(-x)^2 =4x^6-x^2=f(x). \]
Функция чётная.
58. Чётность функций
а)
\[ f(x)=\frac{\cos 5x+1}{|x|}. \]
\[ f(-x)=\frac{\cos(-5x)+1}{|-x|} =\frac{\cos5x+1}{|x|}=f(x). \]
Функция чётная, \(x\ne0\).
б)
\[ f(x)=\frac{\sin^2x}{x^2-1}. \]
\[ f(-x)=\frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2-1} =\frac{(-\sin x)^2}{x^2-1} =f(x). \]
Функция чётная, \(x\ne\pm1\).
в)
\[ f(x)=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3}. \]
\[ f(-x)=\frac{2\sin\left(-\frac{x}{2}\right)}{(-x)^3} =\frac{-2\sin\frac{x}{2}}{-x^3} =f(x). \]
Функция чётная, \(x\ne0\).
г)
\[ f(x)=\frac{\cos(x^2)}{4-x^2}. \]
\[ f(-x)=\frac{\cos((-x)^2)}{4-(-x)^2} =\frac{\cos(x^2)}{4-x^2}=f(x). \]
Функция чётная, \(x\ne\pm2\).
59. Нечётность функций
а) \(f(x)=x^2\sin x\)
\[ f(-x)=(-x)^2\sin(-x) =-x^2\sin x=-f(x). \]
Функция нечётная.
б) \(f(x)=x^2(2x-x^3)\)
\[ \begin{aligned} f(-x) &=(-x)^2\bigl(2(-x)-(-x)^3\bigr)\\ &=x^2(-2x+x^3)\\ &=-x^2(2x-x^3)=-f(x). \end{aligned} \]
Функция нечётная.
в) \(f(x)=x^3\cos3x\)
\[ f(-x)=(-x)^3\cos(-3x) =-x^3\cos3x=-f(x). \]
Функция нечётная.
г) \(f(x)=x(5-x^2)\)
\[ f(-x)=(-x)\bigl(5-(-x)^2\bigr) =-x(5-x^2)=-f(x). \]
Функция нечётная.
60. Нечётность функций
а)
\[ f(x)=\frac{x^4+1}{2x^3}. \]
\[ f(-x)=\frac{(-x)^4+1}{2(-x)^3} =\frac{x^4+1}{-2x^3} =-f(x). \]
Функция нечётная, \(x\ne0\).
б)
\[ f(x)=\frac{\cos x}{x(25-x^2)}. \]
\[ f(-x)=\frac{\cos(-x)}{(-x)(25-(-x)^2)} =\frac{\cos x}{-x(25-x^2)} =-f(x). \]
Функция нечётная, \(x\ne0,\pm5\).
в)
\[ f(x)=\frac{3x}{x^6+2}. \]
\[ f(-x)=\frac{3(-x)}{(-x)^6+2} =-\frac{3x}{x^6+2}=-f(x). \]
Функция нечётная.
г)
\[ f(x)=\frac{x^2\sin x}{x^2-9}. \]
\[ f(-x)=\frac{(-x)^2\sin(-x)}{(-x)^2-9} =-\frac{x^2\sin x}{x^2-9}=-f(x). \]
Функция нечётная, \(x\ne\pm3\).
Проверка: в заданиях 57–58 после замены \(x\) на \(-x\) выражение не изменилось, а в заданиях 59–60 изменилось на противоположное.
Обсуждение
12 сообщенийЯ не понимаютобьясни 57
Разберём №57 пошагово.
Главное правило
Функция называется чётной, если при замене \(x\) на \(-x\) она не меняется:
\[ f(-x)=f(x). \]
Важно помнить:
\[ (-x)^2=x^2,\qquad (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^6=x^6. \]
То есть чётная степень убирает минус.
а) \(f(x)=3x^2+x^4\)
Заменяем \(x\) на \(-x\):
\[ f(-x)=3(-x)^2+(-x)^4. \]
Так как
\[ (-x)^2=x^2,\qquad (-x)^4=x^4, \]
получаем:
\[ f(-x)=3x^2+x^4=f(x). \]
Ответ: функция чётная.
б) \(f(x)=x^2-\frac1{x^2}\)
Подставляем \(-x\):
\[ f(-x)=(-x)^2-\frac1{(-x)^2}. \]
Минусы исчезают при возведении в квадрат:
\[ f(-x)=x^2-\frac1{x^2}=f(x). \]
Ответ: функция чётная.
в) \(f(x)=x^2\cos x\)
Подставляем \(-x\):
\[ f(-x)=(-x)^2\cos(-x). \]
Здесь используются два свойства:
\[ (-x)^2=x^2,\qquad \cos(-x)=\cos x. \]
Значит,
\[ f(-x)=x^2\cos x=f(x). \]
Ответ: функция чётная.
г) \(f(x)=4x^6-x^2\)
Подставляем \(-x\):
\[ f(-x)=4(-x)^6-(-x)^2. \]
Чётные степени не меняются:
\[ f(-x)=4x^6-x^2=f(x). \]
Ответ: функция чётная.
Итог
Во всех четырёх примерах получилось:
\[ f(-x)=f(x). \]
Поэтому функции в задании 57 — чётные.
59
Разберём №59. Здесь нужно проверить, становится ли функция противоположной при замене \(x\) на \(-x\).
Главное правило
Функция нечётная, если
\[ f(-x)=-f(x). \]
Полезно помнить:
\[ (-x)^2=x^2,\qquad (-x)^3=-x^3,\qquad \sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos(-x)=\cos x. \]
а) \(f(x)=x^2\sin x\)
\[ f(-x)=(-x)^2\sin(-x)=x^2(-\sin x)=-x^2\sin x=-f(x). \]
Функция нечётная.
б) \(f(x)=x^2(2x-x^3)\)
\[ \begin{aligned} f(-x)&=(-x)^2\bigl(2(-x)-(-x)^3\bigr)\\ &=x^2(-2x+x^3)\\ &=-x^2(2x-x^3)=-f(x). \end{aligned} \]
Функция нечётная.
в) \(f(x)=x^3\cos 3x\)
\[ f(-x)=(-x)^3\cos(-3x) =-x^3\cos 3x=-f(x), \]
потому что косинус не меняется при смене знака аргумента.
Функция нечётная.
г) \(f(x)=x(5-x^2)\)
\[ f(-x)=(-x)\bigl(5-(-x)^2\bigr) =-x(5-x^2)=-f(x). \]
Функция нечётная.
Итог: все функции в задании 59 нечётные — при подстановке \(-x\) каждая превращается в \(-f(x)\).
Там иероглифы непонятные
Извини, похоже, формулы отобразились непонятно. Объясню №59 проще.
Чтобы проверить, что функция нечётная, заменяем x на −x. Если всё выражение меняет знак, функция нечётная.
а) Было: x² · sin x.
После замены: (−x)² · sin(−x) = x² · (−sin x).
Получилось выражение с минусом перед исходным — функция нечётная.
б) Было: x² · (2x − x³).
После замены: x² · (−2x + x³) = −x² · (2x − x³).
Функция нечётная.
в) Было: x³ · cos 3x.
При замене x на −x куб меняет знак, а косинус — нет: cos(−3x) = cos 3x. Значит, всё выражение меняет знак. Функция нечётная.
г) Было: x · (5 − x²).
При замене x на −x число в скобках не меняется, а x меняет знак. Значит, функция нечётная.
Ответ: все функции в №59 нечётные.
Без слов просто пример
а) f(x) = x²·sin x
f(−x) = (−x)²·sin(−x) = −x²·sin x = −f(x)
б) f(x) = x²·(2x − x³)
f(−x) = x²·(−2x + x³) = −x²·(2x − x³) = −f(x)
в) f(x) = x³·cos 3x
f(−x) = −x³·cos 3x = −f(x)
г) f(x) = x·(5 − x²)
f(−x) = −x·(5 − x²) = −f(x)
Четная не четная
№59 — нечётные.
Все?
Да, все четыре функции в №59 нечётные.
