Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \((a\cdot b):c=(a:c)\cdot b\)
   Чтобы разделить произведение на число, можно разделить на это число один из множителей, а затем умножить результат на другой множитель.

2. \(a:(b\cdot c)=(a:b):c\)
   Чтобы разделить число на произведение, можно сначала разделить его на один множитель, а затем результат разделить на другой.

3. \(a:b=(a\cdot c):(b\cdot c)\)
   Частное не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же число.

4. \(a:b=(a:c):(b:c)\)
   Частное не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же число.

На каких свойствах основаны преобразования

Используются:

• сочетательное свойство умножения:
  \[ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c); \]
• переместительное свойство умножения:
  \[ a\cdot b=b\cdot a; \]
• смысл деления: если \(a:b=q\), то \(q\cdot b=a\).

1)

\[ \begin{aligned} ((a:c)\cdot b)\cdot c &=(a:c)\cdot(b\cdot c) &&\text{(сочетательное свойство)}\\ &=(a:c)\cdot(c\cdot b) &&\text{(переместительное свойство)}\\ &=((a:c)\cdot c)\cdot b &&\text{(сочетательное свойство)}\\ &=a\cdot b. &&\text{(смысл деления)} \end{aligned} \]

Значит,

\[ (a\cdot b):c=(a:c)\cdot b. \]

2)

\[ \begin{aligned} ((a:b):c)\cdot(b\cdot c) &=((a:b):c)\cdot(c\cdot b)\\ &=[((a:b):c)\cdot c]\cdot b\\ &=(a:b)\cdot b\\ &=a. \end{aligned} \]

Здесь также применены переместительное и сочетательное свойства умножения, а затем смысл деления. Поэтому

\[ a:(b\cdot c)=(a:b):c. \]

3)

\[ \begin{aligned} (a\cdot c):(b\cdot c) &=(a\cdot c):(c\cdot b) &&\text{(переместительное свойство)}\\ &=((a\cdot c):c):b &&\text{(свойство 2)}\\ &=a:b. &&\text{(смысл деления)} \end{aligned} \]

4)

По свойству 3, применённому к числам \(a:c\) и \(b:c\),

\[ \begin{aligned} (a:c):(b:c) &=((a:c)\cdot c):((b:c)\cdot c)\\ &=a:b. \end{aligned} \]

Здесь использовано, что

\[ (a:c)\cdot c=a,\qquad (b:c)\cdot c=b. \]

Проверка

Пусть \(a=24,\ b=6,\ c=2\). Тогда:

\[ (24\cdot6):2=144:2=72,\qquad (24:2)\cdot6=12\cdot6=72; \]

\[ 24:(6\cdot2)=24:12=2,\qquad (24:6):2=4:2=2; \]

\[ 24:6=4,\qquad (24\cdot2):(6\cdot2)=48:12=4; \]

\[ 24:6=4,\qquad (24:2):(6:2)=12:3=4. \]

Мне больше понравилось доказательство свойства 3: оно самое короткое и наглядно показывает, что умножение делимого и делителя на одно и то же число не меняет частное.