По алгебре 9 класс

Краткий ответ

1. Неравенство верно при всех \(x\in\mathbb R\).
2. а) \(8<2x+y<22\);
   б) \(6<xy<48\);
   в) \(-3<x-y<6\).
3. а) \(x\ge -49\);
   б) \(x>\dfrac45\).
4. а) \(x>6\);
   б) \(3<x<6\).
5. а) \(x<-\dfrac{21}{5}\);
   б) решений нет: \(\varnothing\).
6. Целые решения: \(\boxed{x\in\{5,6,7,8,9\}}\).

Решение и объяснение

1. Доказательство неравенства

Раскроем скобки:

\[ (x-4)(x+9)=x^2+5x-36, \]

\[ (x+12)(x-7)=x^2+5x-84. \]

Разность левой и правой частей:

\[ (x^2+5x-36)-(x^2+5x-84)=48. \]

Так как \(48>0\), то

\[ (x-4)(x+9)>(x+12)(x-7) \]

при любом \(x\).

---

2. Оценка выражений

Дано:

\[ 3<x<8,\qquad 2<y<6. \]

а) \(2x+y\)

Коэффициенты положительны, поэтому минимальное и максимальное значения получаем по соответствующим границам:

\[ 2\cdot3+2<2x+y<2\cdot8+6. \]

\[ \boxed{8<2x+y<22}. \]

б) \(xy\)

Оба множителя положительны, поэтому:

\[ 3\cdot2<xy<8\cdot6. \]

\[ \boxed{6<xy<48}. \]

в) \(x-y\)

Чтобы получить нижнюю границу, берём \(x\) как можно меньше, а \(y\) — как можно больше:

\[ 3-6<x-y<8-2. \]

\[ \boxed{-3<x-y<6}. \]

---

3. Решение неравенств

а)

\[ \frac27x\ge -14. \]

Умножаем обе части на положительное число \(\frac72\), знак неравенства не меняется:

\[ x\ge -14\cdot\frac72=-49. \]

\[ \boxed{x\ge -49}. \]

б)

\[ 3x-8<4(2x-3). \]

Раскроем скобки:

\[ 3x-8<8x-12. \]

Перенесём:

\[ 4<5x, \]

\[ \boxed{x>\frac45}. \]

---

4. Решение систем

а)

\[ \begin{cases} 6x-24>0,\\ -2x+12<0. \end{cases} \]

Из первого неравенства:

\[ 6x>24 \quad\Rightarrow\quad x>4. \]

Из второго:

\[ -2x<-12 \quad\Rightarrow\quad x>6. \]

Пересечение условий:

\[ \boxed{x>6}. \]

б)

\[ \begin{cases} 2x+7<19,\\ 30-8x<6. \end{cases} \]

\[ 2x<12 \quad\Rightarrow\quad x<6, \]

\[ -8x<-24 \quad\Rightarrow\quad x>3. \]

Следовательно,

\[ \boxed{3<x<6}. \]

---

5. Множество решений

а)

\[ \frac{2x+3}{3}-\frac{x+1}{4}<-1. \]

Умножим всё неравенство на \(12>0\):

\[ 4(2x+3)-3(x+1)<-12. \]

Раскроем скобки:

\[ 8x+12-3x-3<-12, \]

\[ 5x+9<-12, \]

\[ 5x<-21, \]

\[ \boxed{x<-\frac{21}{5}}. \]

б)

\[ 5x+2<4(2x-1)-3x. \]

Упростим правую часть:

\[ 4(2x-1)-3x=8x-4-3x=5x-4. \]

Получаем:

\[ 5x+2<5x-4. \]

После вычитания \(5x\):

\[ 2<-4, \]

что неверно. Поэтому решений нет:

\[ \boxed{\varnothing}. \]

---

6. Целые решения системы

\[ \begin{cases} 2(3x-4)\ge 4(x+1)-3,\\ x(x-4)-(x+3)(x-5)>-5. \end{cases} \]

Первое неравенство:

\[ 6x-8\ge4x+1, \]

\[ 2x\ge9, \]

\[ x\ge\frac92. \]

Второе неравенство:

\[ x(x-4)-(x+3)(x-5)>-5. \]

Раскроем скобки:

\[ x^2-4x-(x^2-2x-15)>-5, \]

\[ -2x+15>-5, \]

\[ -2x>-20, \]

\[ x<10. \]

Общая область решений:

\[ \frac92\le x<10. \]

Целые числа из этого промежутка:

\[ \boxed{5,6,7,8,9}. \]

Проверка: \(5,6,7,8,9\) удовлетворяют обоим условиям, а \(4\) не подходит по первому, \(10\) — по второму.