Реши задание на изображении

Краткий ответ

55. Корни из списка: \(\boxed{-2,\ 2,\ 3}\).

56.

• а) \(0;\ 7\);
• б) \(\dfrac52\);
• в) \(-2;\ 0;\ 2\);
• г) \(-2;\ 2\).

57.

• а) нет;
• б) да, \(x=\sqrt[3]{2}\);
• в) нет;
• г) нет.

Ключевой принцип

Число \(a\) является корнем многочлена \(P(x)\), если \(P(a)=0\).

55

Разложим многочлен на множители:

\[ x^3-3x^2-4x+12 =x^2(x-3)-4(x-3) \]

\[ =(x-3)(x^2-4) =(x-3)(x-2)(x+2). \]

Значит, корни:

\[ x=3,\quad x=2,\quad x=-2. \]

Проверка:

\[ P(-2)=P(2)=P(3)=0, \]

а

\[ P(-1)=12\ne0,\qquad P(0)=12\ne0. \]

56

а)

\[ x^2-7x=x(x-7). \]

Отсюда:

\[ x=0\quad\text{или}\quad x=7. \]

б)

\[ 2x-5=0\Rightarrow 2x=5\Rightarrow x=\frac52. \]

в)

\[ y^3-4y=y(y^2-4)=y(y-2)(y+2). \]

Корни:

\[ y=-2,\quad y=0,\quad y=2. \]

г)

\[ y^4-16=(y^2-4)(y^2+4). \]

Для действительных чисел \(y^2+4\ne0\), поэтому:

\[ y^2-4=0\Rightarrow y=-2\ \text{или}\ y=2. \]

57

а)

\[ x^2+1\ge1>0, \]

поэтому действительных корней нет.

б)

\[ x^3-2=0\Rightarrow x^3=2\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}. \]

Корень есть.

в)

\[ -2x^6-1<0, \]

так как \(x^6\ge0\). Корней нет.

г)

\[ y^4+3y^2+7>0, \]

поскольку \(y^4\ge0\), \(3y^2\ge0\), а \(7>0\). Корней нет.