ответы в столбик

Краткие ответы

\[ \text{НОД}(2\cdot2\cdot5\cdot7;\,2\cdot7\cdot11)=14 \]

а) \(2\)

б) \(5\)

в) \(102\)

г) \(15\)

\[ 1440=2^5\cdot3^2\cdot5 \]

\[ 240=2^4\cdot3\cdot5 \]

\[ 1440:240=6 \]

\[ m=1,2,4,7,8,11,13,14 \]

Объяснение

Чтобы найти НОД по разложениям, берём только общие простые множители в наименьших степенях.

1. Для чисел \(2\cdot2\cdot5\cdot7\) и \(2\cdot7\cdot11\) общие множители — \(2\) и \(7\):

\[ \text{НОД}=2\cdot7=14. \]

2. Разложим числа:

\[ 34=2\cdot17,\qquad 56=2^3\cdot7, \] \[ \text{НОД}(34,56)=2. \]

\[ 45=3^2\cdot5,\qquad 65=5\cdot13, \] \[ \text{НОД}(45,65)=5. \]

\[ 102=2\cdot3\cdot17,\qquad 204=2^2\cdot3\cdot17, \] \[ \text{НОД}(102,204)=2\cdot3\cdot17=102. \]

\[ 1005=3\cdot5\cdot67,\qquad 960=2^6\cdot3\cdot5, \] \[ \text{НОД}(1005,960)=3\cdot5=15. \]

Проверка: \(1005:15=67\), \(960:15=64\), а \(67\) и \(64\) взаимно просты.

3. Разложение:

\[ 1440=2^5\cdot3^2\cdot5,\qquad 240=2^4\cdot3\cdot5. \]

Проверим, во сколько раз одно число больше другого:

\[ 1440:240=6. \]

Значит, \(1440\) больше \(240\) в \(6\) раз.

4. Дробь \(\frac{m}{15}\) правильная, поэтому \(1\le m<15\). Так как

\[ 15=3\cdot5, \]

числитель \(m\) не должен делиться ни на \(3\), ни на \(5\). Подходят:

\[ m=1,2,4,7,8,11,13,14. \]