Тест по предмету «Геометрия» на тему «Теорема синуса и косинуса»

1. Во всех заданиях \(a,b,c\) — стороны, лежащие напротив углов \(A,B,C\) соответственно. Соотнесите условие с формулой.

   Группа 1

   A) Известны \(b,c,A\); найти \(a\).
   B) Известны \(R,A\); найти \(a\).
   C) Известны \(a,b,c\); найти \(A\).
   D) Известны \(b,A,B\); найти \(a\).

   Группа 2

   1. \(\displaystyle a=\frac{b\sin A}{\sin B}\)
   2. \(\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
   3. \(\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
   4. \(\displaystyle a=2R\sin A\)

2. В треугольнике \(ABC\) найдите указанную сторону, используя теорему синусов.

   Группа 1

   A) \(a=4,\ A=30^\circ,\ B=45^\circ\); найти \(b\).
   B) \(a=6,\ A=30^\circ,\ C=60^\circ\); найти \(c\).
   C) \(a=5,\ A=45^\circ,\ B=45^\circ\); найти \(b\).
   D) \(a=8,\ A=60^\circ,\ B=30^\circ\); найти \(b\).

   Группа 2

   1. \(5\)
   2. \(4\sqrt2\)
   3. \(6\sqrt3\)
   4. \(\displaystyle\frac{8\sqrt3}{3}\)

3. Используя теорему косинусов, найдите третью сторону \(x\). Указанный угол является углом между двумя известными сторонами.

   Группа 1

   A) Стороны \(3\) и \(4\), угол между ними \(90^\circ\).
   B) Стороны \(5\) и \(7\), угол между ними \(60^\circ\).
   C) Стороны \(6\) и \(8\), угол между ними \(120^\circ\).
   D) Стороны \(7\) и \(7\), угол между ними \(60^\circ\).

   Группа 2

   1. \(5\)
   2. \(\sqrt{39}\)
   3. \(2\sqrt{37}\)
   4. \(7\)

4. Найдите угол между двумя указанными сторонами по теореме косинусов.

   Группа 1

   A) Стороны \(3\) и \(4\), сторона напротив искомого угла равна \(5\).
   B) Стороны \(5\) и \(5\), сторона напротив искомого угла равна \(5\).
   C) Стороны \(1\) и \(\sqrt2\), сторона напротив искомого угла равна \(1\).
   D) Стороны \(2\) и \(2\), сторона напротив искомого угла равна \(2\sqrt3\).

   Группа 2

   1. \(45^\circ\)
   2. \(60^\circ\)
   3. \(90^\circ\)
   4. \(120^\circ\)

5. Соотнесите данные со значением радиуса \(R\) описанной окружности.

   Группа 1

   A) \(a=6,\ A=30^\circ\)
   B) \(a=8,\ A=60^\circ\)
   C) \(a=10,\ A=90^\circ\)
   D) \(a=4,\ A=45^\circ\)

   Группа 2

   1. \(6\)
   2. \(5\)
   3. \(2\sqrt2\)
   4. \(\displaystyle\frac{8\sqrt3}{3}\)

6. Соотнесите пары углов с отношением противоположных сторон \(a:b\).

   Группа 1

   A) \(A=30^\circ,\ B=90^\circ\)
   B) \(A=45^\circ,\ B=45^\circ\)
   C) \(A=30^\circ,\ B=60^\circ\)
   D) \(A=45^\circ,\ B=90^\circ\)

   Группа 2

   1. \(1:2\)
   2. \(1:1\)
   3. \(1:\sqrt3\)
   4. \(1:\sqrt2\)

7. По теореме синусов сопоставьте углы с порядком соответствующих сторон.

   Группа 1

   A) \(A=35^\circ,\ B=65^\circ,\ C=80^\circ\)
   B) \(A=90^\circ,\ B=40^\circ,\ C=50^\circ\)
   C) \(A=55^\circ,\ B=55^\circ,\ C=70^\circ\)
   D) \(A=120^\circ,\ B=30^\circ,\ C=30^\circ\)

   Группа 2

   1. \(a<b<c\)
   2. \(b<c<a\)
   3. \(a=b<c\)
   4. \(b=c<a\)

8. По теореме косинусов найдите угол \(A\) по заданному равенству.

   Группа 1

   A) \(\displaystyle a^2=b^2+c^2-bc\)
   B) \(\displaystyle a^2=b^2+c^2\)
   C) \(\displaystyle a^2=b^2+c^2+bc\)
   D) \(\displaystyle a^2=b^2+c^2-\sqrt2bc\)

   Группа 2

   1. \(45^\circ\)
   2. \(60^\circ\)
   3. \(90^\circ\)
   4. \(120^\circ\)

Ответы

1. A–2, B–4, C–3, D–1
2. A–2, B–3, C–1, D–4
3. A–1, B–2, C–3, D–4
4. A–3, B–2, C–1, D–4
5. A–1, B–4, C–2, D–3
6. A–1, B–2, C–3, D–4
7. A–1, B–2, C–3, D–4
8. A–2, B–3, C–4, D–1