Тест по предмету «Геометрия» на тему «Сечение куба и тетраэдра через заданные точки»
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(M\), \(N\), \(P\) — середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(BB_1\) соответственно. Какой многоугольник является сечением куба плоскостью \(MNP\)? Запишите его вершины в порядке обхода.
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(M\), \(N\), \(P\) — середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(CC_1\) соответственно. Определите все вершины сечения плоскостью \(MNP\) и запишите их в циклическом порядке. Укажите, на каких рёбрах лежат дополнительные вершины.
В тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\), \(N\), \(P\) — середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(CD\) соответственно. Определите вид сечения плоскостью \(MNP\). Найдите четвёртую вершину сечения и укажите её положение на ребре.
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(M\) лежит на \(AB\), причём \(AM:MB=1:2\); точка \(N\) лежит на \(CD\), причём \(CN:ND=1:2\); точка \(P\) лежит на \(AA_1\), причём \(AP:PA_1=1:2\). Определите вид сечения плоскостью \(MNP\), назовите его вершины в порядке обхода и найдите отношение \(DQ:QD_1\), где \(Q\) — дополнительная вершина сечения.
В тетраэдре \(ABCD\) точки \(M\), \(N\), \(P\) лежат на рёбрах \(AB\), \(AC\), \(AD\) соответственно, причём \(AM:MB=AN:NC=AP:PD=1:2\). Определите вид сечения плоскостью \(MNP\), установите её взаимное расположение с гранью \(BCD\) и найдите отношение площадей \(S_{MNP}:S_{BCD}\).
Ответы
Треугольник \(MNP\).
Шестиугольник \(MNPQRS\); \(Q\) — середина \(C_1D_1\), \(R\) — середина \(A_1D_1\), \(S\) — середина \(AA_1\).
Четырёхугольник \(MNPQ\); \(Q\) — середина \(AD\).
Четырёхугольник \(MNQP\); \(Q\in DD_1\), \(DQ:QD_1=2:1\).
Треугольник \(MNP\), \(MNP\parallel BCD\), \(S_{MNP}:S_{BCD}=1:9\).
