Реши задание на изображении

Краткий ответ: если середины сторон параллелограмма образуют прямоугольник, то его диагонали перпендикулярны. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб.

Доказательство.

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, а \(E, F, G, H\) — середины его сторон \(AB, BC, CD, DA\) соответственно.

1. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(EF\) соединяет середины двух сторон, поэтому
   \[ EF\parallel AC. \]

2. В треугольнике \(BCD\) отрезок \(FG\) соединяет середины двух сторон, поэтому
   \[ FG\parallel BD. \]

3. Четырёхугольник \(EFGH\) — прямоугольник, значит его соседние стороны перпендикулярны: \[ EF\perp FG. \] Следовательно, \[ AC\perp BD. \]

4. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). В параллелограмме диагонали делятся пополам: \[ AO=OC. \] Так как \(AC\perp BD\), треугольники \(AOB\) и \(COB\) — прямоугольные. У них: \[ AO=OC,\qquad OB=OB. \] Поэтому треугольники равны по двум катетам, откуда \[ AB=BC. \]

Параллелограмм, у которого соседние стороны равны, является ромбом. Значит, \(ABCD\) — ромб. ∎