Свойства

Для функции на фото
\[ y=3(x-1{,}5)^2+2 \]

Краткий ответ: свойства

• График — парабола, ветви направлены вверх.
• Вершина: \(\boxed{(1{,}5;\,2)}\).
• Ось симметрии: \(\boxed{x=1{,}5}\).
• Область определения: \[ D(f)=(-\infty;+\infty). \]
• Область значений: \[ E(f)=[2;+\infty). \]
• Наименьшее значение функции: \(\boxed{2}\).
• Убывает на \((-\infty;1{,}5]\), возрастает на \([1{,}5;+\infty)\).
• Нулей нет, так как \(y\ge 2>0\).

Почему так

Функция имеет вид \[ y=a(x-h)^2+k. \]

Здесь: \[ a=3,\qquad h=1{,}5,\qquad k=2. \]

1. Так как \(a=3>0\), ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины сразу читаются из формулы: \[ (h;k)=(1{,}5;2). \]
3. Квадрат \((x-1{,}5)^2\) не может быть отрицательным: \[ (x-1{,}5)^2\ge0. \] Поэтому \[ 3(x-1{,}5)^2+2\ge2. \] Значит, \(y_{\min}=2\), а область значений — \([2;+\infty)\).
4. Область определения — все действительные числа: \[ \boxed{D(f)=(-\infty;+\infty)}, \] а не \([-1{,}5;+\infty)\): квадрат можно вычислять при любом \(x\).

Проверка точек из таблицы

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&1{,}5&0{,}5&2{,}5&-0{,}5&3{,}5\\ \hline y&2&5&5&14&14 \end{array} \]

Например: \[ f(0{,}5)=3(0{,}5-1{,}5)^2+2=3+2=5. \]

Точки с одинаковым расстоянием от \(x=1{,}5\) имеют одинаковые значения \(y\), поэтому парабола симметрична относительно прямой \(x=1{,}5\).