Реши задание на изображении
На изображении два задания.
Краткие ответы:
Если \(\angle BAM=40^\circ\), а \(\angle MAC=70^\circ\), то
\[ \boxed{AM=\frac{AB}{2}}. \] То есть медиана равна половине стороны, образующей с ней угол \(40^\circ\).\[ \boxed{\angle ABC=45^\circ}. \]
1. Доказательство
Пусть \(AM\) — медиана, поэтому \(M\) — середина \(BC\).
Обозначим \(AB=c\), \(AC=b\), \(AM=m\). Направим ось вдоль \(AM\). Так как \(M\) — середина \(BC\), то проекции отрезков \(AB\) и \(AC\) на перпендикулярное направление взаимно уничтожаются:
\[ c\sin40^\circ=b\sin70^\circ. \]
Проекции на направление \(AM\) дают:
\[ 2m=c\cos40^\circ+b\cos70^\circ. \]
Из первого равенства:
\[ b=\frac{c\sin40^\circ}{\sin70^\circ}. \]
Подставим:
\[ \begin{aligned} 2m &=c\cos40^\circ+ \frac{c\sin40^\circ}{\sin70^\circ}\cos70^\circ\\ &=c\cdot \frac{\cos40^\circ\sin70^\circ+\sin40^\circ\cos70^\circ} {\sin70^\circ}\\ &=c\cdot\frac{\sin110^\circ}{\sin70^\circ} =c. \end{aligned} \]
Так как \(\sin110^\circ=\sin70^\circ\), получаем:
\[ \boxed{m=\frac c2}, \qquad\text{то есть}\qquad \boxed{AM=\frac{AB}{2}}. \]
Если угол \(40^\circ\) расположен у другой стороны, аналогично получится половина этой стороны.
2. Решение
\(BM\) — медиана, значит:
\[ AM=CM. \]
Так как точки \(A,M,C\) лежат на одной прямой, углы \(AMB\) и \(BMC\) supplementary:
\[ \angle AMB=180^\circ-45^\circ=135^\circ. \]
В треугольнике \(ABM\):
\[ \angle ABM=180^\circ-30^\circ-135^\circ=15^\circ. \]
Обозначим:
\[ x=\angle MBC. \]
Тогда в треугольнике \(BMC\):
\[ \angle BCM=180^\circ-45^\circ-x=135^\circ-x. \]
По теореме синусов:
\[ \frac{AM}{BM}=\frac{\sin15^\circ}{\sin30^\circ}, \]
а
\[ \frac{CM}{BM}= \frac{\sin x}{\sin(135^\circ-x)}. \]
Поскольку \(AM=CM\), то
\[ \frac{\sin x}{\sin(135^\circ-x)} = \frac{\sin15^\circ}{\sin30^\circ}. \]
Это равенство даёт \(x=30^\circ\). Поэтому
\[ \angle ABC=\angle ABM+\angle MBC =15^\circ+30^\circ=45^\circ. \]
Проверка: углы треугольника \(ABC\) равны \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(105^\circ\), их сумма \(180^\circ\).
