Реши 764 и 765

Краткий ответ:

764.
а) \(\overrightarrow{AK}\);
б) \(\overrightarrow{AM}\).

765.
\[ \vec p=\vec q=\vec r=\vec 0. \]

764

Используем правила: \[ -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA},\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. \]

а) \[ \begin{aligned} &(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{MC}) +(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{KD})\\ &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DK}\\ &=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM} +\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DK}\\ &=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MD} +\overrightarrow{DK}\\ &=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK} =\boxed{\overrightarrow{AK}}. \end{aligned} \]

б) \[ \begin{aligned} &(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}) -(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KD})\\ &=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} +\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{MD}\\ &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD} -\overrightarrow{MD}\\ &=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM} =\boxed{\overrightarrow{AM}}. \end{aligned} \]

765

Сумма векторов, последовательно образующих замкнутый многоугольник, равна нулевому вектору.

\[ \begin{aligned} \vec p &=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX} +\overrightarrow{YZ}\\ &=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ} +\overrightarrow{ZX}\\ &=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{ZX} =\boxed{\vec 0}. \end{aligned} \]

Так как \(-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZX}\), то

\[ \begin{aligned} \vec q &=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ}) +\overrightarrow{YZ}\\ &=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX} +\overrightarrow{YZ}\\ &=\boxed{\vec 0}. \end{aligned} \]

Так как \(-\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{YX}\) и \(-\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XZ}\), то

\[ \begin{aligned} \vec r &=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY}) -\overrightarrow{ZX}\\ &=\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX} +\overrightarrow{XZ}\\ &=\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{XZ} =\boxed{\vec 0}. \end{aligned} \]

Проверка: в каждом случае движение по векторам возвращает в исходную точку, поэтому результирующий вектор нулевой.