Реши задание на изображении

476

В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D,\qquad \angle A+\angle B=180^\circ. \]

а) \(\angle A=84^\circ\), значит
\[ \boxed{\angle A=\angle C=84^\circ,\quad \angle B=\angle D=96^\circ.} \]

б) Пусть \(\angle A=x\), \(\angle B=y\). Тогда \[ \begin{cases} x-y=55^\circ,\\ x+y=180^\circ. \end{cases} \] Отсюда \(x=117{,}5^\circ=117^\circ30'\), \(y=62{,}5^\circ=62^\circ30'\).

\[ \boxed{\angle A=\angle C=117^\circ30',\quad \angle B=\angle D=62^\circ30'.} \]

в) \[ \angle A+\angle C=142^\circ,\qquad \angle A=\angle C, \] поэтому \[ \boxed{\angle A=\angle C=71^\circ,\quad \angle B=\angle D=109^\circ.} \]

г) \[ \angle A=2\angle B,\qquad \angle A+\angle B=180^\circ. \] \[ 2\angle B+\angle B=180^\circ\Rightarrow \angle B=60^\circ. \] Значит, \[ \boxed{\angle A=\angle C=120^\circ,\quad \angle B=\angle D=60^\circ.} \]

д) На фото указано \(\angle CAD=37^\circ\). Этого недостаточно для определения углов параллелограмма: диагональ \(AC\) не обязана быть биссектрисой угла \(A\). Поэтому в таком виде ответ однозначно определить нельзя.

477

Так как \(H\) лежит на стороне \(MQ\), \[ MH=MQ-HQ=8-5=3\text{ см}. \]

Треугольник \(MNH\) прямоугольный, \(\angle MNH=30^\circ\). Сторона \(MH\), лежащая напротив угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы: \[ MN=2MH=6\text{ см}. \]

Тогда \[ PQ=MN=6\text{ см},\qquad NP=MQ=8\text{ см}. \]

\[ \angle NMH=60^\circ. \] Так как \(MH\) лежит на \(MQ\), то \(\angle M=60^\circ\). Следовательно, \[ \boxed{\angle M=\angle P=60^\circ,\qquad \angle N=\angle Q=120^\circ.} \]

Ответ: \[ \boxed{MN=PQ=6\text{ см},\quad NP=MQ=8\text{ см};} \] \[ \boxed{\angle M=\angle P=60^\circ,\quad \angle N=\angle Q=120^\circ.} \]

480

По условию: \[ AB=AM+MB=CP+DP=CD, \] \[ BC=BN+NC=DQ+QA=DA. \]

Значит, в четырёхугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно равны. Следовательно, \[ \boxed{ABCD\text{ — параллелограмм}.} \]

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). В параллелограмме \(O\) является центром симметрии: при повороте на \(180^\circ\) \[ A\leftrightarrow C,\qquad B\leftrightarrow D. \]

Из равенств \(AM=CP\) и \(BN=DQ\) следует, что при этой симметрии \[ M\leftrightarrow P,\qquad N\leftrightarrow Q. \]

Значит, \(O\) является серединой отрезков \(MP\) и \(NQ\). Диагонали \(MP\) и \(NQ\) четырёхугольника \(MNPQ\) делятся пополам, поэтому \[ \boxed{MNPQ\text{ — параллелограмм}.} \]