476, 477, 480
Краткий ответ
476.
- а) \(\angle A=\angle C=84^\circ,\quad \angle B=\angle D=96^\circ\);
- б) \(\angle A=\angle C=117^\circ30'\), \(\angle B=\angle D=62^\circ30'\);
- в) \(\angle A=\angle C=71^\circ,\quad \angle B=\angle D=109^\circ\);
- г) \(\angle A=\angle C=120^\circ,\quad \angle B=\angle D=60^\circ\);
- д) \(\angle A=\angle C=74^\circ,\quad \angle B=\angle D=106^\circ\).
477.
\(MN=PQ=6\) см, \(MQ=NP=8\) см;
\(\angle M=\angle P=60^\circ,\quad \angle N=\angle Q=120^\circ\).
480.
\(ABCD\) и \(MNPQ\) — параллелограммы.
476
В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\):
\[ \angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D,\qquad \angle A+\angle B=180^\circ. \]
а)
\[ \angle A=84^\circ,\qquad \angle B=180^\circ-84^\circ=96^\circ. \]
б) Пусть \(\angle A=x\), тогда \(\angle B=180^\circ-x\).
\[ x-(180^\circ-x)=55^\circ, \]
\[ 2x=235^\circ,\qquad x=117^\circ30'. \]
Тогда
\[ \angle B=180^\circ-117^\circ30'=62^\circ30'. \]
в) Так как \(\angle A=\angle C\),
\[ 2\angle A=142^\circ,\qquad \angle A=\angle C=71^\circ. \]
\[ \angle B=\angle D=180^\circ-71^\circ=109^\circ. \]
г) Пусть \(\angle B=x\), тогда \(\angle A=2x\).
\[ 2x+x=180^\circ,\qquad 3x=180^\circ,\qquad x=60^\circ. \]
Значит,
\[ \angle B=\angle D=60^\circ,\qquad \angle A=\angle C=120^\circ. \]
д) В треугольнике \(ACD\):
\[ \angle CAD=\angle ACD=37^\circ, \]
поэтому
\[ \angle ADC=180^\circ-37^\circ-37^\circ=106^\circ. \]
Угол \(\angle ADC\) — это угол \(D\) параллелограмма. Тогда
\[ \angle D=\angle B=106^\circ,\qquad \angle A=\angle C=180^\circ-106^\circ=74^\circ. \]
Проверка: в каждом случае сумма соседних углов равна \(180^\circ\).
477
Так как \(H\) лежит на стороне \(MQ\),
\[ MH=MQ-HQ=8-5=3\text{ см}. \]
Треугольник \(MNH\) прямоугольный:
\[ \angle MHN=90^\circ,\qquad \angle MNH=30^\circ. \]
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Поэтому
\[ MN=2MH=2\cdot3=6\text{ см}. \]
Следовательно, по свойству параллелограмма:
\[ PQ=MN=6\text{ см},\qquad NP=MQ=8\text{ см}. \]
Другой острый угол треугольника \(MNH\) равен
\[ \angle NMH=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]
Так как луч \(MH\) лежит на луче \(MQ\), то
\[ \angle M=60^\circ. \]
Соседний угол:
\[ \angle N=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]
480
По условию:
\[ AM=CP,\qquad BM=DP. \]
Тогда
\[ AB=AM+BM=CP+DP=CD. \]
Также:
\[ BN=DQ,\qquad NC=QA, \]
поэтому
\[ BC=BN+NC=DQ+QA=DA. \]
У четырёхугольника \(ABCD\) противоположные стороны попарно равны, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.
Теперь докажем, что \(MNPQ\) — параллелограмм.
Так как \(ABCD\) — параллелограмм, его противоположные углы равны:
\[ \angle B=\angle D,\qquad \angle C=\angle A. \]
Рассмотрим треугольники \(MBN\) и \(PDQ\):
\[ MB=DP,\qquad BN=DQ,\qquad \angle MBN=\angle PDQ. \]
Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\[ MN=PQ. \]
Теперь рассмотрим треугольники \(CNP\) и \(AQM\):
\[ CN=QA,\qquad CP=AM,\qquad \angle NCP=\angle QAM. \]
Поэтому
\[ NP=QM. \]
В четырёхугольнике \(MNPQ\) противоположные стороны попарно равны:
\[ MN=PQ,\qquad NP=QM. \]
Следовательно, \(MNPQ\) — параллелограмм.
