Реши задание на изображении
Анализ неравенств
Думаю, я рассматриваю неравенство x > 7 и определяю, что оно отрицательное, что приводит к множеству решений (-∞, -2) ∪ (7, ∞). Интересно, что это аналогично произведению (7-x)(x+2)<0, где знаки в знаменателе различаются. Я уточню, что x = -2 следует исключить, а также укажу, что при x = 7 получается 0, что недопустимо.
Я подумаю о том, чтобы упомянуть общий метод решения неравенств: нули множителей, исключение знаменателя и построение таблиц знаков. Запрос пользователя на ясность означает, что я могу дать краткий ответ, а затем основные шаги; возможно, уточняющий вопрос не понадобится.
Формулировка шага ответа
Мне нужно следовать указаниям, добавив после основного ответа последнюю строку, которая направит пользователя к следующему шагу, не повторяя уже решенное. Например, я мог бы написать: [[NEXT]] «Показать, как построить таблицу знаков для первого неравенства». Однако нужно убедиться, что эта строка звучит естественно и уместно.
Ответ должен быстро начинаться со слов «Ответы:» и сразу переходить к критическим точкам, например \(x(x-0.5)(x+4)>0\), с точками -4, 0 и 5. Я укажу последовательность знаков, выберу подходящие интервалы и поясню возможные особенности записи десятичных чисел и интервалов.
Анализ интервальной записи и корней
Я рассматриваю здесь интервальную запись и корни. Один из интервалов — \((-4;0)\cup(\frac{1}{2};+\infty)\), с использованием точек с запятой в русском обозначении. Я определил два корня, \(-\frac{1}{5}\) и \(5\), и включил концы в решение \([-\frac{1}{5};5]\). Есть три корня, при этом строгие отрицательные значения записываются как \((-\infty;-2)\cup(7;+\infty)\).
Мне нужно быть внимательным с критическими точками, например \(x=-2\). Также следует рассмотреть использование таблицы знаков с проверкой этих интервалов, чтобы показать, как ведет себя каждый из них при конкретных значениях.
Проверка знаков и организация
Для четвертой проверки я получил, что при \(x=-3\) результат отрицательный, поскольку \(10/-1\) дает отрицательное значение. При \(x=0\) знак оказался положительным: \(7/2\), а при \(x=8\) он стал отрицательным: \(-1/10\).
Мне нужно упростить изложение. Сначала я дам краткий ответ, затем выделю основной принцип, не перегружая объяснение. Таблица проверки знаков может оказаться полезной. В конце я задам вопрос: «Объясни, почему в дроби точка −2 исключается?» — чтобы углубить понимание.
Ответ:
\[ x(x-0{,}5)(x+4)>0 \] \[ \boxed{x\in(-4;0)\cup\left(\frac12;+\infty\right)} \]
\[ (5x+1)(5-x)\ge 0 \] \[ \boxed{x\in\left[-\frac15;5\right]} \]
\[ (7-x)(x+2)<0 \] \[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(7;+\infty)} \]
\[ \frac{7-x}{x+2}<0 \] \[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(7;+\infty)} \]
Как решать методом интервалов
Находим точки, в которых выражение равно нулю или не существует. Они разбивают числовую прямую на интервалы. На каждом интервале определяем знак выражения.
1) Критические точки: \(-4,\ 0,\ \frac12\).
Знаки слева направо:
\[ -\quad|\quad+\quad|\quad-\quad|\quad+ \]
Нужно выбрать промежутки, где знак \(+\). Так как неравенство строгое, концы не включаются:
\[ \boxed{(-4;0)\cup\left(\frac12;+\infty\right)} \]
2) Нули множителей:
\[ 5x+1=0\Rightarrow x=-\frac15,\qquad 5-x=0\Rightarrow x=5. \]
Знаки:
\[ -\quad|\quad+\quad|\quad- \]
Знак \(\ge 0\) означает, что берём положительный промежуток и сами нули:
\[ \boxed{\left[-\frac15;5\right]}. \]
3) Критические точки: \(-2\) и \(7\).
Знаки:
\[ -\quad|\quad+\quad|\quad- \]
Нужно взять отрицательные промежутки:
\[ \boxed{(-\infty;-2)\cup(7;+\infty)}. \]
4) Для дроби:
- \(7-x=0\) при \(x=7\);
- \(x+2=0\) при \(x=-2\), но \(x=-2\) нельзя подставлять в знаменатель.
Знаки дроби:
\[ -\quad|\quad+\quad|\quad- \]
Поэтому:
\[ \boxed{(-\infty;-2)\cup(7;+\infty)}. \]
Проверка: например, для четвёртого неравенства при \(x=-3\) дробь отрицательна, при \(x=0\) положительна, при \(x=8\) снова отрицательна — знаки совпадают с ответом.
Обсуждение
2 сообщенияРеши более подробно
Разберём все четыре неравенства методом интервалов.
Алгоритм
- Найдём значения \(x\), при которых каждый множитель равен нулю.
- Отметим эти точки на числовой прямой.
- Определим знак выражения на каждом промежутке.
- Выберем промежутки с нужным знаком.
- Учтём знаки неравенства:
- при \(>\) и \(<\) точки, где выражение равно нулю, не включаются;
- при \(\ge\) и \(\le\) нулевые точки включаются;
- значения, при которых знаменатель равен нулю, никогда не включаются.
1. \(\boldsymbol{x(x-0{,}5)(x+4)>0}\)
Находим нули множителей
\[ x=0, \]
\[ x-0{,}5=0 \quad\Rightarrow\quad x=0{,}5=\frac12, \]
\[ x+4=0 \quad\Rightarrow\quad x=-4. \]
Располагаем точки по возрастанию:
\[ -4,\quad 0,\quad \frac12. \]
Они делят числовую прямую на четыре промежутка:
\[ (-\infty;-4),\quad \left(-4;0\right),\quad \left(0;\frac12\right),\quad \left(\frac12;+\infty\right). \]
Определим знаки множителей:
| Промежуток | \(x\) | \(x-0{,}5\) | \(x+4\) | Произведение |
|---|---|---|---|---|
| \((-\infty;-4)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \((-4;0)\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) |
| \((0;\frac12)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \((\frac12;+\infty)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Нужно, чтобы произведение было положительным. Подходят промежутки:
\[ (-4;0)\quad\text{и}\quad \left(\frac12;+\infty\right). \]
Неравенство строгое, поэтому точки \(-4\), \(0\), \(\frac12\) не включаются.
\[ \boxed{x\in(-4;0)\cup\left(\frac12;+\infty\right)} \]
2. \(\boldsymbol{(5x+1)(5-x)\ge 0}\)
Находим нули множителей
\[ 5x+1=0 \]
\[ 5x=-1 \]
\[ x=-\frac15. \]
Второй множитель:
\[ 5-x=0 \]
\[ x=5. \]
Отмечаем точки:
\[ -\frac15,\quad 5. \]
Промежутки:
\[ \left(-\infty;-\frac15\right),\quad \left(-\frac15;5\right),\quad (5;+\infty). \]
Определим знаки:
| Промежуток | \(5x+1\) | \(5-x\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \(\left(-\infty;-\frac15\right)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(\left(-\frac15;5\right)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((5;+\infty)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
Нужно, чтобы произведение было неотрицательным, то есть положительным или равным нулю.
Положительное значение получается на промежутке:
\[ \left(-\frac15;5\right). \]
Так как стоит знак \(\ge\), включаем точки, в которых произведение равно нулю:
\[ x=-\frac15,\qquad x=5. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left[-\frac15;5\right]} \]
3. \(\boldsymbol{(7-x)(x+2)<0}\)
Находим нули множителей
\[ 7-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=7. \]
\[ x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2. \]
Располагаем точки:
\[ -2,\quad 7. \]
Промежутки:
\[ (-\infty;-2),\quad (-2;7),\quad (7;+\infty). \]
Определим знаки:
| Промежуток | \(7-x\) | \(x+2\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \((-\infty;-2)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \((-2;7)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((7;+\infty)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
Нужно, чтобы произведение было отрицательным. Подходят промежутки:
\[ (-\infty;-2)\quad\text{и}\quad (7;+\infty). \]
Неравенство строгое, поэтому точки \(-2\) и \(7\) не включаются.
\[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(7;+\infty)} \]
4. \(\boldsymbol{\frac{7-x}{x+2}<0}\)
Здесь нужно учитывать, что дробь не существует при \(x=-2\).
Находим особые точки
Числитель равен нулю:
\[ 7-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=7. \]
Знаменатель равен нулю:
\[ x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2. \]
Точка \(x=-2\) обязательно исключается.
Промежутки:
\[ (-\infty;-2),\quad (-2;7),\quad (7;+\infty). \]
Определим знак дроби:
| Промежуток | \(7-x\) | \(x+2\) | Знак дроби |
|---|---|---|---|
| \((-\infty;-2)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \((-2;7)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \((7;+\infty)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
Нужно выбрать промежутки, где дробь отрицательна:
\[ (-\infty;-2)\quad\text{и}\quad (7;+\infty). \]
Точка \(x=7\) не включается, потому что дробь в ней равна нулю, а требуется строго меньше нуля. Точка \(x=-2\) не включается, поскольку знаменатель равен нулю.
\[ \boxed{x\in(-\infty;-2)\cup(7;+\infty)} \]
Итоговые ответы
\[ \boxed{1)\ x\in(-4;0)\cup\left(\frac12;+\infty\right)} \]
\[ \boxed{2)\ x\in\left[-\frac15;5\right]} \]
\[ \boxed{3)\ x\in(-\infty;-2)\cup(7;+\infty)} \]
\[ \boxed{4)\ x\in(-\infty;-2)\cup(7;+\infty)} \]
