Сперва геометрию
Краткие ответы — вариант 2, № 1–10
- \(AC=5\sqrt2\)
- \(AB=\dfrac{7(3\sqrt2+\sqrt6)}3\)
- \(BC=6(\sqrt6+\sqrt2)\)
- \(AC=\dfrac{8\sqrt6}{3}\)
- \(AB=9(\sqrt3-1)\)
- \(AC=3\)
- \(\angle A=30^\circ\)
- \(\angle A\approx32{,}4^\circ\)
- \(R=4\)
- \(R=\dfrac{10\sqrt3}{3}\)
Основной принцип
Обозначим:
\[ a=BC,\qquad b=AC,\qquad c=AB. \]
По теореме синусов:
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R. \]
Радиус описанной окружности:
\[ R=\frac{a}{2\sin A}. \]
Решение
1.
\[ AC=BC\cdot\frac{\sin B}{\sin A} =10\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ} =10\cdot\frac{1/2}{\sqrt2/2} =5\sqrt2. \]
2.
\[ AB=AC\cdot\frac{\sin C}{\sin B} =14\cdot\frac{\sin75^\circ}{\sin60^\circ}. \]
Так как
\[ \sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, \]
то
\[ AB=14\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2\sqrt3} =\frac{7(3\sqrt2+\sqrt6)}3. \]
3.
Сначала найдём третий угол:
\[ C=180^\circ-105^\circ-30^\circ=45^\circ. \]
Тогда
\[ BC=AB\cdot\frac{\sin A}{\sin C} =12\sqrt2\cdot\frac{\sin105^\circ}{\sin45^\circ}. \]
Поскольку \(\sin105^\circ=\sin75^\circ\),
\[ BC=12\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2\sqrt2} =6(\sqrt6+\sqrt2). \]
4.
\[ AC=BC\cdot\frac{\sin B}{\sin A} =8\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ} =8\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt3} =\frac{8\sqrt6}{3}. \]
5.
\[ AB=AC\cdot\frac{\sin C}{\sin B} =9\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin75^\circ}. \]
\[ \frac{\sin45^\circ}{\sin75^\circ} =\frac{\sqrt2/2}{(\sqrt6+\sqrt2)/4} =\sqrt3-1. \]
Значит,
\[ AB=9(\sqrt3-1). \]
6.
\[ AC=AB\cdot\frac{\sin B}{\sin C} =6\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin90^\circ} =6\cdot\frac12=3. \]
7.
\[ \sin A=\frac{BC\cdot\sin B}{AC} =\frac{5\sqrt2\cdot\sin45^\circ}{10} =\frac{5\sqrt2\cdot\sqrt2/2}{10} =\frac12. \]
Отсюда \(A=30^\circ\) или \(150^\circ\). Угол \(150^\circ\) невозможен, так как тогда сумма углов превысит \(180^\circ\).
\[ \boxed{A=30^\circ} \]
8.
Так как
\[ A+B=180^\circ-120^\circ=60^\circ, \]
то \(B=60^\circ-A\). По теореме синусов:
\[ \frac{6}{\sin A} = \frac{3\sqrt3}{\sin(60^\circ-A)}. \]
После преобразования:
\[ \sqrt3\cos A=(\sqrt3+1)\sin A, \]
\[ \tan A=\frac{\sqrt3}{\sqrt3+1} =\frac{3-\sqrt3}{2}. \]
Следовательно,
\[ A\approx32{,}4^\circ. \]
Проверка: \(B=60^\circ-32{,}4^\circ\approx27{,}6^\circ\), и сумма углов равна \(180^\circ\).
9.
\[ R=\frac{BC}{2\sin A} =\frac4{2\sin30^\circ} =\frac4{2\cdot1/2}=4. \]
10.
\[ R=\frac{BC}{2\sin A} =\frac{10}{2\sin120^\circ} =\frac{10}{\sqrt3} =\frac{10\sqrt3}{3}. \]
