Реши, пожалуйста, и нарисуй подробно 3 номер.

Краткий ответ

\[ f(x)=x^2-2x+15=(x-1)^2+14. \]

Получаем:

\[ \boxed{\text{а) }y=f(-x)=x^2+2x+15=(x+1)^2+14;} \]

\[ \boxed{\text{б) }y=f(-2x)=4x^2+4x+15 =4\left(x+\frac12\right)^2+14;} \]

\[ \boxed{\text{в) }y=|f(x)|=x^2-2x+15;} \]

\[ \boxed{\text{г) }y=f(|x|)=x^2-2|x|+15.} \]

1. График исходной функции

Выделим квадрат:

\[ f(x)=x^2-2x+15=(x-1)^2+14. \]

Это парабола, ветви направлены вверх.

• вершина: \((1;14)\);
• ось симметрии: \(x=1\);
• минимальное значение: \(14\).

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-2&-1&0&1&2&3&4\\ \hline y&23&18&15&14&15&18&23 \end{array} \]

Поставьте эти точки и соедините их плавной параболой.

---

2. График \(y=f(-x)\)

\[ y=f(-x)=(-x)^2-2(-x)+15=x^2+2x+15. \]

Это отражение исходной параболы относительно оси \(Oy\).

• вершина: \((-1;14)\);
• ось симметрии: \(x=-1\).

Точки:

\[ (-4;23),\ (-3;18),\ (-2;15),\ (-1;14),\ (0;15),\ (1;18),\ (2;23). \]

---

3. График \(y=f(-2x)\)

\[ y=f(-2x)=(-2x)^2-2(-2x)+15 =4x^2+4x+15. \]

Или:

\[ y=4\left(x+\frac12\right)^2+14. \]

Парабола отражена относительно \(Oy\) и сжата по горизонтали в 2 раза.

• вершина: \(\left(-\frac12;14\right)\);
• ось симметрии: \(x=-\frac12\).

Точки:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-2&-\frac32&-1&-\frac12&0&\frac12&1\\ \hline y&23&18&15&14&15&18&23 \end{array} \]

---

4. График \(y=|f(x)|\)

Так как

\[ f(x)=(x-1)^2+14\ge 14>0, \]

значения функции никогда не бывают отрицательными. Поэтому модуль ничего не изменяет:

\[ y=|f(x)|=f(x)=x^2-2x+15. \]

График полностью совпадает с исходным графиком.

---

5. График \(y=f(|x|)\)

\[ y=f(|x|)=|x|^2-2|x|+15 =x^2-2|x|+15. \]

Раскроем по случаям:

\[ y= \begin{cases} x^2+2x+15=(x+1)^2+14, & x<0,\\[2mm] x^2-2x+15=(x-1)^2+14, & x\ge 0. \end{cases} \]

Для построения берём правую часть исходной параболы и отражаем её относительно оси \(Oy\).

Точки:

\[ (-4;23),\ (-3;18),\ (-2;15),\ (-1;14),\ (0;15), \] \[ (1;14),\ (2;15),\ (3;18),\ (4;23). \]

Получается график, симметричный относительно \(Oy\), с двумя вершинами:

\[ (-1;14)\quad\text{и}\quad(1;14). \]

Карта точек для рисунка

\(y\)	\(f(x)\) и в)	а) \(f(-x)\)	б) \(f(-2x)\)	г) \(f(|x|)\)
\(23\)	\(x=-2,4\)	\(x=-4,2\)	\(x=-2,1\)	\(x=-4,4\)
\(18\)	\(x=-1,3\)	\(x=-3,1\)	\(x=-\frac32,\frac12\)	\(x=-3,3\)
\(15\)	\(x=0,2\)	\(x=-2,0\)	\(x=-1,0\)	\(x=-2,0,2\)
\(14\)	\(x=1\)	\(x=-1\)	\(x=-\frac12\)	\(x=-1,1\)

Все точки нанесите на координатную плоскость и соедините плавными ветвями парабол.