Извини, похоже, прошлый ответ не отобразился. Объясню метод интервалов на типичном формате заданий ЦТ и ЦЭ.

Что это за метод

Метод интервалов используют для решения неравенств вида:

\[ \frac{(x-a)(x-b)}{x-c}>0, \qquad (x-a)(x-b)(x-c)\le 0. \]

Идея простая: выражение может изменить знак только:

1. в точке, где оно равно нулю;
2. в точке, где оно не существует, например знаменатель равен нулю.

Эти точки делят числовую прямую на интервалы.

---

Алгоритм

1. Перенеси всё в одну часть

Например:

\[ \frac{x-1}{x+2}\le 0. \]

2. Найди критические точки

Нули числителя:

\[ x-1=0 \Rightarrow x=1. \]

Нули знаменателя:

\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2. \]

3. Отметь точки на числовой прямой

Порядок:

\[ -2 \qquad 1. \]

Они разбивают прямую на интервалы:

\[ (-\infty;-2),\quad (-2;1),\quad (1;+\infty). \]

Точка \(x=-2\) всегда исключается, потому что знаменатель не может быть равен нулю.

4. Определи знак на каждом интервале

Рассмотрим:

\[ \frac{x-1}{x+2}\le 0. \]

Интервал	Знак выражения
\((-\infty;-2)\)	\(+\)
\((-2;1)\)	\(-\)
\((1;+\infty)\)	\(+\)

Нам нужны отрицательные значения и ноль, поэтому выбираем:

\[ \boxed{(-2;1]}. \]

Число \(1\) включаем, потому что числитель может быть равен нулю. Число \(-2\) не включаем, потому что знаменатель равен нулю.

---

Пример типичного задания ЦТ/ЦЭ

Решить:

\[ \frac{(x-1)(x+2)}{x-3}\le 0. \]

Критические точки

\[ x-1=0 \Rightarrow x=1, \]

\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2, \]

\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]

Располагаем их по возрастанию:

\[ -2,\quad 1,\quad 3. \]

Знаки на интервалах:

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;-2) & (-2;1) & (1;3) & (3;+\infty)\\ \hline \text{знак} & - & + & - & + \end{array} \]

Нужно решить неравенство \(\le 0\), значит, выбираем интервалы со знаком «минус» и точки, где числитель равен нулю:

\[ \boxed{(-\infty;-2]\cup[1;3)}. \]

Точка \(3\) исключается, так как она обращает знаменатель в ноль.

---

Важные правила для ЦТ и ЦЭ

1. Строгое неравенство

Если стоит \(>0\) или \(<0\), нули числителя не включаются:

\[ x\ne a. \]

2. Нестрогое неравенство

Если стоит \(\ge0\) или \(\le0\), нули числителя включаются.

Но нули знаменателя никогда не включаются.

3. Повторяющиеся корни

Если множитель стоит в чётной степени, знак в этой точке не меняется:

\[ (x-2)^2. \]

Если в нечётной степени, знак меняется:

\[ (x-2)^3. \]

4. Нельзя бездумно умножать на знаменатель

В неравенстве

\[ \frac{x-1}{x+2}>0 \]

нельзя просто умножить обе части на \(x+2\), потому что неизвестно, положительно это число или отрицательно. Метод интервалов как раз позволяет избежать этой ошибки.

Короткая схема

\[ \boxed{ \text{Разложить на множители} \rightarrow \text{найти нули} \rightarrow \text{расставить интервалы} \rightarrow \text{определить знаки} \rightarrow \text{выбрать нужные интервалы} } \]

Давай совсем с нуля, без сложных слов.

Что нужно понять

Метод интервалов помогает узнать, при каких значениях \(x\) выражение положительное или отрицательное.

Например:

\[ (x-3)(x+1)>0 \]

Нужно понять: при каких \(x\) результат умножения будет больше нуля?

---

Шаг 1. Вспомним знаки при умножении

• плюс \(\cdot\) плюс \(=\) плюс;
• минус \(\cdot\) минус \(=\) плюс;
• плюс \(\cdot\) минус \(=\) минус.

Значит, произведение положительно, когда оба множителя имеют одинаковые знаки.

---

Шаг 2. Найдём места, где множители становятся нулём

В выражении

\[ (x-3)(x+1) \]

первый множитель равен нулю:

\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]

Второй множитель равен нулю:

\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1. \]

Получились две важные точки:

\[ -1 \quad \text{и} \quad 3. \]

Они разделяют числовую прямую на три части:

\[ (-\infty;-1),\qquad (-1;3),\qquad (3;+\infty). \]

---

Шаг 3. Проверим по одному числу из каждого промежутка

Первый промежуток: \((-\infty;-1)\)

Возьмём \(x=-2\):

\[ (-2-3)(-2+1)=(-5)\cdot(-1)=5. \]

Получили плюс.

Второй промежуток: \((-1;3)\)

Возьмём \(x=0\):

\[ (0-3)(0+1)=(-3)\cdot1=-3. \]

Получили минус.

Третий промежуток: \((3;+\infty)\)

Возьмём \(x=4\):

\[ (4-3)(4+1)=1\cdot5=5. \]

Получили плюс.

Получается:

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-1) & (-1;3) & (3;+\infty)\\ \hline \text{знак} & + & - & + \end{array} \]

Нам нужно:

\[ (x-3)(x+1)>0, \]

то есть нужны промежутки со знаком плюс:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)}. \]

Точки \(-1\) и \(3\) не включаем, потому что знак \(>\) означает «строго больше», а не «больше или равно».

---

А если есть дробь?

Рассмотрим:

\[ \frac{x-1}{x+2}\le 0. \]

1. Находим важные точки

Числитель равен нулю:

\[ x-1=0 \Rightarrow x=1. \]

Знаменатель равен нулю:

\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2. \]

Точка \(x=-2\) запрещена: на ноль делить нельзя.

Разбиваем прямую:

\[ (-\infty;-2),\qquad (-2;1),\qquad (1;+\infty). \]

Проверяем знаки:

\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-2) & (-2;1) & (1;+\infty)\\ \hline \dfrac{x-1}{x+2} & + & - & + \end{array} \]

Нужно \(\le0\), то есть берём:

• участок со знаком «минус»;
• точку, где выражение равно нулю: \(x=1\).

Ответ:

\[ \boxed{x\in(-2;1]}. \]

Почему:

• \(-2\) не включаем — это знаменатель;
• \(1\) включаем — числитель равен нулю, а у нас есть знак «равно».

---

Самая короткая памятка

1. Разложи выражение на множители.
2. Найди, где каждый множитель равен нулю.
3. Отметь эти точки на прямой.
4. Раздели прямую на промежутки.
5. Возьми любое число из каждого промежутка и проверь знак.
6. Выбери подходящие промежутки.

Точки:

• знаменатель равен нулю — никогда не включаем;
• при \(>\) и \(<\) нули не включаем;
• при \(\ge\) и \(\le\) нули числителя включаем.