Реши задачи

Краткий ответ

4. \(\angle BCK=\angle DAM\), что и требовалось доказать.

5. Периметр параллелограмма:
\[ \boxed{130\text{ см}} \]

4. Доказательство

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому: \[ BO=OD. \]

Так как \(BK=DM\) и точка \(K\) лежит между \(B\) и \(M\), точки расположены в порядке \[ B-K-O-M-D. \] Тогда \[ OK=BO-BK,\qquad OM=OD-DM. \] Следовательно, \(OK=OM\), то есть \(O\) — середина \(KM\).

Кроме того, \(O\) — середина диагонали \(AC\). Значит, в четырёхугольнике \(AKCM\) диагонали \(AC\) и \(KM\) делятся пополам, поэтому \(AKCM\) — параллелограмм.

Отсюда: \[ CK\parallel AM. \] Также в исходном параллелограмме: \[ BC\parallel AD. \]

При этом лучи \(CB\) и \(AD\) направлены противоположно, как и лучи \(CK\) и \(AM\). Поэтому углы равны: \[ \boxed{\angle BCK=\angle DAM}. \]

5. Решение

Пусть \(AN\) — биссектриса угла \(DAB\).

Так как \(CD\parallel AB\), то \(ND\parallel BA\). Поэтому \[ \angle AND=\angle NAB. \] Поскольку \(AN\) — биссектриса, \[ \angle DAN=\angle NAB. \] Следовательно, \[ \angle DAN=\angle AND. \]

Значит, треугольник \(ADN\) равнобедренный, и его равные стороны: \[ AD=DN. \] По условию \(AD=20\) см, значит \[ DN=20\text{ см}. \]

Из отношения \[ CN:ND=5:4 \] получаем: \[ CN=20\cdot\frac54=25\text{ см}. \]

Тогда \[ CD=CN+ND=25+20=45\text{ см}. \] В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \[ AB=CD=45\text{ см}. \]

Периметр: \[ P=2(AB+AD)=2(45+20)=130\text{ см}. \]

Проверка: \[ CN:ND=25:20=5:4. \]