Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(AC=5\sqrt2\)
- \(AB=\dfrac{7}{3}(3\sqrt2+\sqrt6)\)
- \(BC=\dfrac35(\sqrt6+\sqrt2)\)
- \(AC=\dfrac{8\sqrt6}{3}\)
- \(AB=9(\sqrt3-1)\)
- \(AC=3\)
- \(\angle A=30^\circ\)
- \(\angle A\approx32{,}4^\circ\)
- \(R=4\)
- \(R=\dfrac{10\sqrt3}{3}\)
Решение
Обозначим:
\[ a=BC,\qquad b=AC,\qquad c=AB. \]
Основная формула — теорема синусов:
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R. \]
1
\[ AC=BC\cdot\frac{\sin B}{\sin A} =10\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ} \]
\[ AC=10\cdot\frac{1/2}{\sqrt2/2}=5\sqrt2. \]
2
\[ AB=AC\cdot\frac{\sin C}{\sin B} =14\cdot\frac{\sin75^\circ}{\sin60^\circ} \]
\[ AB=14\cdot\frac{(\sqrt6+\sqrt2)/4}{\sqrt3/2} =\frac73(3\sqrt2+\sqrt6). \]
3
Сначала найдём третий угол:
\[ C=180^\circ-105^\circ-30^\circ=45^\circ. \]
\[ BC=AB\cdot\frac{\sin A}{\sin C} =1{,}2\sqrt2\cdot\frac{\sin105^\circ}{\sin45^\circ}. \]
Так как \(\sin105^\circ=\sin75^\circ\),
\[ BC=1{,}2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3+1}{2} =\frac35(\sqrt6+\sqrt2). \]
4
\[ AC=BC\cdot\frac{\sin B}{\sin A} =8\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ} \]
\[ AC=8\cdot\frac{\sqrt2/2}{\sqrt3/2} =\frac{8\sqrt6}{3}. \]
5
\[ AB=AC\cdot\frac{\sin C}{\sin B} =9\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin75^\circ} \]
\[ AB=9\cdot\frac{\sqrt2/2}{(\sqrt6+\sqrt2)/4} =9(\sqrt3-1). \]
6
\[ AC=AB\cdot\frac{\sin B}{\sin C} =6\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin90^\circ} =6\cdot\frac12=3. \]
7
\[ \sin A=\frac{BC\cdot\sin B}{AC} =\frac{5\sqrt2\cdot\sqrt2/2}{10} =\frac12. \]
Значит, \(A=30^\circ\) или \(150^\circ\). Угол \(150^\circ\) невозможен, так как тогда сумма углов превысит \(180^\circ\).
\[ \boxed{\angle A=30^\circ} \]
8
Так как \(C=120^\circ\), то
\[ A+B=60^\circ,\qquad B=60^\circ-A. \]
По теореме синусов:
\[ \frac{BC}{AC}=\frac{\sin A}{\sin B}. \]
Подставим данные:
\[ \frac{6}{3\sqrt3} =\frac{\sin A}{\sin(60^\circ-A)}. \]
После преобразования:
\[ \tan A=\frac{\sqrt3}{\sqrt3+1} =\frac{3-\sqrt3}{2}. \]
Следовательно,
\[ A=\arctan\frac{3-\sqrt3}{2}\approx32{,}4^\circ. \]
9
Используем формулу:
\[ BC=2R\sin A. \]
\[ 4=2R\sin30^\circ=2R\cdot\frac12=R. \]
\[ \boxed{R=4} \]
10
\[ BC=2R\sin A. \]
\[ 10=2R\sin120^\circ =2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3. \]
\[ R=\frac{10}{\sqrt3}=\frac{10\sqrt3}{3}. \]
Проверка: в №7 третий угол равен \(105^\circ\), а в №8 \(B\approx27{,}6^\circ\), поэтому найденные углы подходят для треугольника.
Обсуждение
4 сообщенияЭто решение 9 класса
Да, это задание уровня 9 класса: используется теорема синусов и табличные значения синусов.
Только в №8 я записал решение через \(\arctan\), а это может быть лишним для 9 класса. В школьном оформлении достаточно указать:
\[ \angle A \approx 32{,}4^\circ. \]
Остальные пункты решены обычным способом для 9 класса.
Это все решения
Да, выше приведены решения всех 10 заданий с изображения. Для №8 результат записан приближённо:
\[ \angle A\approx 32{,}4^\circ. \]
