Реши задание на изображении
Ответ: \(x=2\).
Вынесем общий множитель \(3^{2x-1}\):
\[ 3^{2x-1}+3^{2x}=108 \]
Так как \(3^{2x}=3^{2x-1}\cdot 3\), получаем:
\[ 3^{2x-1}(1+3)=108 \]
\[ 4\cdot 3^{2x-1}=108 \]
\[ 3^{2x-1}=27=3^3 \]
Основания одинаковые, значит, равны показатели:
\[ 2x-1=3 \]
\[ 2x=4,\qquad x=2 \]
Проверка:
\[ 3^{2\cdot2-1}+3^{2\cdot2}=3^3+3^4=27+81=108. \]
Обсуждение
6 сообщенийЭто продолжение текущей учебной цели: на изображении новое показательное уравнение на ту же тему и с тем же принципом решения.
Не очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) не появился в решении случайно — это неизвестное число из исходного уравнения:
\[ 3^{2x-1}+3^{2x}=108. \]
Разберём переход подробнее.
1. Преобразуем \(3^{2x}\)
Используем правило:
\[ a^m=a^{m-1}\cdot a. \]
Поэтому
\[ 3^{2x}=3^{2x-1}\cdot3. \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ 3^{2x-1}+3^{2x-1}\cdot3=108. \]
Выносим \(3^{2x-1}\) за скобки:
\[ 3^{2x-1}(1+3)=108, \]
\[ 4\cdot3^{2x-1}=108. \]
2. Находим степень
Делим на \(4\):
\[ 3^{2x-1}=27. \]
Число \(27\) можно записать как степень тройки:
\[ 27=3^3. \]
Значит:
\[ 3^{2x-1}=3^3. \]
У степеней с одинаковым основанием равны показатели:
\[ 2x-1=3. \]
Вот здесь \(x\) остаётся, потому что показатель степени \(2x-1\) содержит неизвестное \(x\).
Решаем:
\[ 2x=4,\qquad x=2. \]
Это продолжение текущей учебной цели: на изображении есть исходное уравнение №1 и несколько похожих показательных уравнений на тот же способ решения.
