Для координат вершины параболы используем только две формулы:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}, \]

\[ y_{\text{в}}=f(x_{\text{в}})=a x_{\text{в}}^2+b x_{\text{в}}+c. \]

Здесь в функции

\[ y=ax^2+bx+c \]

\(a\) — коэффициент при \(x^2\), \(b\) — коэффициент при \(x\), \(c\) — свободный член.

---

1а) \(y=-2x^2+2x+1\)

Шаг 1. Определяем \(a\), \(b\), \(c\)

Сравниваем функцию с формулой \(y=ax^2+bx+c\):

\[ a=-2,\qquad b=2,\qquad c=1. \]

Шаг 2. Находим \(x_{\text{в}}\)

Подставляем \(a=-2\) и \(b=2\) в формулу:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}. \]

Получаем:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{2}{2\cdot(-2)}. \]

Сначала считаем знаменатель:

\[ 2\cdot(-2)=-4. \]

Тогда:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{2}{-4}=\frac{2}{4}=\frac12. \]

Шаг 3. Находим \(y_{\text{в}}\)

Теперь найденное значение \(x_{\text{в}}=\frac12\) подставляем в исходную функцию:

\[ y_{\text{в}}=-2\left(\frac12\right)^2+2\cdot\frac12+1. \]

Сначала возводим дробь в квадрат:

\[ \left(\frac12\right)^2=\frac14. \]

Подставляем:

\[ y_{\text{в}}=-2\cdot\frac14+1+1. \]

\[ -2\cdot\frac14=-\frac12. \]

Значит:

\[ y_{\text{в}}=-\frac12+1+1 =-\frac12+2 =\frac32. \]

Ответ:

\[ \boxed{V\left(\frac12;\frac32\right)}. \]

Ось симметрии:

\[ \boxed{x=\frac12}. \]

---

1б) \(y=2x^2-2x\)

Свободного члена нет, поэтому его можно записать так:

\[ y=2x^2-2x+0. \]

Шаг 1. Определяем \(a\), \(b\), \(c\)

\[ a=2,\qquad b=-2,\qquad c=0. \]

Шаг 2. Находим \(x_{\text{в}}\)

Используем формулу:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}. \]

Подставляем \(a=2\), \(b=-2\):

\[ x_{\text{в}}=-\frac{-2}{2\cdot2}. \]

Минус перед отрицательным числом даёт плюс:

\[ x_{\text{в}}=\frac{2}{4}=\frac12. \]

Шаг 3. Находим \(y_{\text{в}}\)

Подставляем \(x_{\text{в}}=\frac12\) в функцию:

\[ y_{\text{в}}=2\left(\frac12\right)^2-2\cdot\frac12. \]

\[ \left(\frac12\right)^2=\frac14. \]

Тогда:

\[ y_{\text{в}}=2\cdot\frac14-1. \]

\[ 2\cdot\frac14=\frac12. \]

Следовательно:

\[ y_{\text{в}}=\frac12-1=-\frac12. \]

Ответ:

\[ \boxed{V\left(\frac12;-\frac12\right)}. \]

Ось симметрии:

\[ \boxed{x=\frac12}. \]

---

1в) \(y=-0{,}5x^2+x+1\)

Шаг 1. Определяем \(a\), \(b\), \(c\)

\[ a=-0{,}5,\qquad b=1,\qquad c=1. \]

Шаг 2. Находим \(x_{\text{в}}\)

Используем формулу:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}. \]

Подставляем \(a=-0{,}5\), \(b=1\):

\[ x_{\text{в}}=-\frac{1}{2\cdot(-0{,}5)}. \]

Считаем знаменатель:

\[ 2\cdot(-0{,}5)=-1. \]

Получаем:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{1}{-1}=1. \]

Шаг 3. Находим \(y_{\text{в}}\)

Подставляем \(x_{\text{в}}=1\) в исходную функцию:

\[ y_{\text{в}}=-0{,}5\cdot1^2+1+1. \]

Так как \(1^2=1\), получаем:

\[ y_{\text{в}}=-0{,}5+1+1. \]

\[ y_{\text{в}}=1{,}5=\frac32. \]

Ответ:

\[ \boxed{V\left(1;\frac32\right)}. \]

Ось симметрии:

\[ \boxed{x=1}. \]

---

2) Найти \(p\) и \(q\)

Дана функция:

\[ y=x^2+px+q. \]

Известно, что её график проходит через точки:

\[ M(-1;4),\qquad N(1;2). \]

Здесь точки \(M\) и \(N\) не являются вершинами, поэтому сначала \(p\) и \(q\) находим подстановкой координат точек.

Подставляем координаты точки \(M(-1;4)\)

У точки \(M\):

\[ x=-1,\qquad y=4. \]

Подставляем их в функцию:

\[ 4=(-1)^2+p\cdot(-1)+q. \]

Так как

\[ (-1)^2=1,\qquad p\cdot(-1)=-p, \]

получаем:

\[ 4=1-p+q. \]

Вычитаем \(1\) из обеих частей:

\[ 3=-p+q. \]

Или:

\[ -p+q=3. \tag{1} \]

Подставляем координаты точки \(N(1;2)\)

У точки \(N\):

\[ x=1,\qquad y=2. \]

Подставляем в функцию:

\[ 2=1^2+p\cdot1+q. \]

Так как

\[ 1^2=1,\qquad p\cdot1=p, \]

получаем:

\[ 2=1+p+q. \]

Вычитаем \(1\):

\[ p+q=1. \tag{2} \]

Решаем систему

Получили:

\[ \begin{cases} -p+q=3,\\ p+q=1. \end{cases} \]

Складываем уравнения:

\[ (-p+q)+(p+q)=3+1. \]

\[ 2q=4. \]

Делим обе части на \(2\):

\[ q=2. \]

Теперь подставляем \(q=2\) в уравнение

\[ p+q=1: \]

\[ p+2=1. \]

Вычитаем \(2\):

\[ p=-1. \]

Ответ:

\[ \boxed{p=-1,\qquad q=2}. \]

Полученная функция:

\[ y=x^2-x+2. \]

Если для неё также найти вершину через \(x_{\text{в}}\) и \(y_{\text{в}}\), то:

\[ a=1,\qquad b=-1,\qquad c=2. \]

\[ x_{\text{в}}=-\frac{-1}{2\cdot1}=\frac12. \]

\[ y_{\text{в}}=\left(\frac12\right)^2-\frac12+2 =\frac14-\frac24+\frac84 =\frac74. \]

То есть вершина этой параболы:

\[ \boxed{V\left(\frac12;\frac74\right)}. \]

Легче всего запомнить так:

1. Что значит монотонность

Функция возрастает, если при увеличении \(x\) увеличивается и \(y\).

Функция убывает, если при увеличении \(x\) значение \(y\) уменьшается.

Например:

\[ x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2) \]

— функция возрастает.

\[ x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2) \]

— функция убывает.

---

2. Для квадратной функции

Если дана парабола

\[ y=ax^2+bx+c, \]

то сначала находим абсциссу вершины:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}. \]

Затем смотрим на знак коэффициента \(a\).

Если \(a>0\)

Ветви параболы направлены вверх:

\[ \text{сначала функция убывает, затем возрастает}. \]

То есть:

\[ \boxed{\text{убывает на }(-\infty;x_{\text{в}})} \]

\[ \boxed{\text{возрастает на }(x_{\text{в}};+\infty)} \]

Запомнить можно по форме буквы U: спускаемся вниз, потом поднимаемся.

---

Если \(a<0\)

Ветви параболы направлены вниз:

\[ \text{сначала функция возрастает, затем убывает}. \]

То есть:

\[ \boxed{\text{возрастает на }(-\infty;x_{\text{в}})} \]

\[ \boxed{\text{убывает на }(x_{\text{в}};+\infty)} \]

Форма похожа на перевёрнутую букву \(\cap\): сначала поднимаемся, потом опускаемся.

---

3. На примерах из задания

Пример 1

\[ y=-2x^2+2x+1. \]

Здесь

\[ a=-2<0,\qquad x_{\text{в}}=\frac12. \]

Значит, функция:

\[ \boxed{\text{возрастает на }\left(-\infty;\frac12\right)} \]

\[ \boxed{\text{убывает на }\left(\frac12;+\infty\right)}. \]

---

Пример 2

\[ y=2x^2-2x. \]

Здесь

\[ a=2>0,\qquad x_{\text{в}}=\frac12. \]

Значит, функция:

\[ \boxed{\text{убывает на }\left(-\infty;\frac12\right)} \]

\[ \boxed{\text{возрастает на }\left(\frac12;+\infty\right)}. \]

---

Пример 3

\[ y=-0{,}5x^2+x+1. \]

Здесь

\[ a=-0{,}5<0,\qquad x_{\text{в}}=1. \]

Значит, функция:

\[ \boxed{\text{возрастает на }(-\infty;1)} \]

\[ \boxed{\text{убывает на }(1;+\infty)}. \]

Главное правило

\[ \boxed{ \begin{array}{c|c} a>0 & \text{убывает, затем возрастает}\\ a<0 & \text{возрастает, затем убывает} \end{array}} \]

А граница между этими промежутками — это \(x\)-координата вершины.

Да, здесь важно не просто смотреть на минус, а сначала определить вид функции.

Главное правило

1. Линейная функция

Если

\[ y=kx+b, \]

то смотрим на коэффициент \(k\) перед \(x\):

• \(k>0\) — функция возрастает;
• \(k<0\) — функция убывает.

Например:

\[ y=3x-1 \]

возрастает, потому что \(3>0\).

\[ y=-\frac13x+1 \]

убывает, потому что \(-\frac13<0\).

---

2. Обратная пропорциональность

Если

\[ y=\frac{k}{x},\qquad x\ne0, \]

то функция \(\frac1x\) сама по себе убывает на каждом из промежутков:

\[ (-\infty;0),\qquad (0;+\infty). \]

Умножение на отрицательное число меняет направление:

\[ \begin{array}{c|c} k>0 & \text{убывает}\\ k<0 & \text{возрастает} \end{array} \]

Например:

\[ \frac1x: \quad 1\to2,\qquad 1\to\frac12. \]

Значение уменьшилось — функция убывает.

А для

\[ -\frac1x: \quad -1\to-\frac12. \]

Значение увеличилось — функция возрастает.

Значит, в функции \(-\frac5x\) минус делает функцию возрастающей, а не убывающей.

---

Задание 3

а) \(\displaystyle y=1-\frac{x}{3}\)

Перепишем:

\[ y=-\frac13x+1. \]

Это линейная функция. Коэффициент перед \(x\):

\[ k=-\frac13<0. \]

Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой:

\[ \boxed{\text{убывает на }(-\infty;+\infty)}. \]

---

б) \(\displaystyle y=-1+3x\)

Перепишем:

\[ y=3x-1. \]

Коэффициент перед \(x\):

\[ k=3>0. \]

Следовательно, функция возрастает:

\[ \boxed{\text{возрастает на }(-\infty;+\infty)}. \]

---

в) \(\displaystyle y=-\frac5x\)

Это функция вида

\[ y=\frac{k}{x}, \]

где

\[ k=-5<0. \]

Для \(k<0\) функция возрастает на каждом промежутке области определения:

\[ \boxed{\text{возрастает на }(-\infty;0)} \]

и

\[ \boxed{\text{возрастает на }(0;+\infty)}. \]

Точка \(x=0\) исключается, потому что на ноль делить нельзя.

---

г) \(\displaystyle y=\frac{\sqrt a+0{,}1}{x}\), где \(a>0\)

Так как \(a>0\), то

\[ \sqrt a>0. \]

Следовательно,

\[ \sqrt a+0{,}1>0. \]

Значит, числитель положительный. Это функция вида

\[ y=\frac{k}{x},\qquad k>0. \]

Поэтому она убывает на каждом промежутке:

\[ \boxed{\text{убывает на }(-\infty;0)} \]

и

\[ \boxed{\text{убывает на }(0;+\infty)}. \]

Ответ к № 3

\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{а)}&\ \text{убывает};\\ \text{б)}&\ \text{возрастает};\\ \text{в)}&\ \text{возрастает на }(-\infty;0)\text{ и }(0;+\infty);\\ \text{г)}&\ \text{убывает на }(-\infty;0)\text{ и }(0;+\infty). \end{aligned}} \]

---

Задание 6

Здесь нужно помнить порядок действий:

\[ f(g(x)) \]

означает: сначала применить \(g\), потом \(f\).

\[ g(f(x)) \]

означает: сначала применить \(f\), потом \(g\).

---

6а)

Дано:

\[ f(x)=1-x,\qquad g(x)=\frac1{\sqrt x}. \]

Находим \(f(g(x))\)

В формуле

\[ f(x)=1-x \]

вместо \(x\) подставляем всю функцию \(g(x)\):

\[ f(g(x))=1-\frac1{\sqrt x}. \]

Так как в \(g(x)\) есть \(\sqrt x\) в знаменателе, необходимо:

\[ x>0. \]

Получаем:

\[ \boxed{f(g(x))=1-\frac1{\sqrt x}},\qquad x>0. \]

Находим \(g(f(x))\)

В формуле

\[ g(x)=\frac1{\sqrt x} \]

вместо \(x\) подставляем \(f(x)=1-x\):

\[ g(f(x))=\frac1{\sqrt{1-x}}. \]

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:

\[ 1-x>0. \]

Отсюда:

\[ x<1. \]

Получаем:

\[ \boxed{g(f(x))=\frac1{\sqrt{1-x}}},\qquad x<1. \]

---

6б)

Дано:

\[ f(x)=3x-2,\qquad g(x)=\frac4x. \]

Находим \(f(g(x))\)

Вместо \(x\) в функции \(f\) подставляем \(g(x)=\frac4x\):

\[ f(g(x))=3\cdot\frac4x-2. \]

Умножаем:

\[ f(g(x))=\frac{12}{x}-2. \]

Знаменатель не может быть равен нулю:

\[ x\ne0. \]

Ответ:

\[ \boxed{f(g(x))=\frac{12}{x}-2},\qquad x\ne0. \]

Находим \(g(f(x))\)

Вместо \(x\) в функции \(g\) подставляем \(f(x)=3x-2\):

\[ g(f(x))=\frac4{3x-2}. \]

Знаменатель не должен равняться нулю:

\[ 3x-2\ne0. \]

\[ 3x\ne2, \]

\[ x\ne\frac23. \]

Ответ:

\[ \boxed{g(f(x))=\frac4{3x-2}},\qquad x\ne\frac23. \]

Ответ к № 6

\[ \boxed{ \begin{aligned} \text{а)}\quad &f(g(x))=1-\frac1{\sqrt x},\quad g(f(x))=\frac1{\sqrt{1-x}};\\[2mm] \text{б)}\quad &f(g(x))=\frac{12}{x}-2,\quad g(f(x))=\frac4{3x-2}. \end{aligned}} \]

Вот похожий тренировочный вариант по темам, которые мы разбирали сегодня. Решения пока не пишу, чтобы ты попробовала самостоятельно.

№ 1. Вершина параболы

Для каждой функции найди координаты вершины \(V(x_{\text{в}};y_{\text{в}})\) и ось симметрии.

Используй формулы:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a},\qquad y_{\text{в}}=f(x_{\text{в}}). \]

а) \(\displaystyle y=2x^2-8x+5\);

б) \(\displaystyle y=-3x^2-6x+2\);

в) \(\displaystyle y=0{,}5x^2+2x+1\).

---

№ 2. Найди \(p\) и \(q\)

График функции

\[ y=x^2+px+q \]

проходит через точки

\[ A(-2;-4),\qquad B(1;2). \]

Найди значения \(p\) и \(q\).

---

№ 3. Определи монотонность функции

Укажи, где функция возрастает или убывает.

а) \(\displaystyle y=4x-9\);

б) \(\displaystyle y=-\frac12x+5\);

в) \(\displaystyle y=\frac6x\);

г) \(\displaystyle y=-\frac2x\);

д) \(\displaystyle y=\frac{\sqrt t+3}{x},\quad t\geqslant0.\)

Подсказка

Для линейной функции \(y=kx+b\):

• если \(k>0\), функция возрастает;
• если \(k<0\), функция убывает.

Для функции

\[ y=\frac{k}{x} \]

• если \(k>0\), функция убывает на \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\);
• если \(k<0\), функция возрастает на этих промежутках.

---

№ 4. Монотонность параболы

Найди \(x_{\text{в}}\), а затем укажи промежутки возрастания и убывания функции.

а) \(\displaystyle y=x^2-6x+4\);

б) \(\displaystyle y=-2x^2+4x+1\);

в) \(\displaystyle y=0{,}5x^2+x-3\).

Подсказка

Если \(a>0\), парабола сначала убывает, потом возрастает.

Если \(a<0\), парабола сначала возрастает, потом убывает.

---

№ 6. Сложная функция

Даны функции:

\[ f(x)=2-x,\qquad g(x)=\frac3{\sqrt{x}}. \]

Найди:

а) \(f(g(x))\);

б) \(g(f(x))\);

в) область определения каждого выражения.

---

Ещё один вариант № 6

\[ f(x)=5x+1,\qquad g(x)=\frac2x. \]

Найди:

а) \(f(g(x))\);

б) \(g(f(x))\);

в) область определения каждого выражения.

Помни:

\[ f(g(x)) \]

означает, что вместо \(x\) в формулу \(f\) нужно подставить \(g(x)\).

Конечно. Вот ответы к тренировочным заданиям.

№ 1. Вершина параболы

а) \(y=2x^2-8x+5\)

\[ x_{\text{в}}=-\frac{-8}{2\cdot2}=2, \]

\[ y_{\text{в}}=2\cdot2^2-8\cdot2+5=-3. \]

\[ \boxed{V(2;-3)},\qquad \boxed{x=2}. \]

б) \(y=-3x^2-6x+2\)

\[ x_{\text{в}}=-\frac{-6}{2\cdot(-3)}=-1, \]

\[ y_{\text{в}}=-3\cdot(-1)^2-6\cdot(-1)+2=5. \]

\[ \boxed{V(-1;5)},\qquad \boxed{x=-1}. \]

в) \(y=0{,}5x^2+2x+1\)

\[ x_{\text{в}}=-\frac{2}{2\cdot0{,}5}=-2, \]

\[ y_{\text{в}}=0{,}5\cdot(-2)^2+2\cdot(-2)+1=-1. \]

\[ \boxed{V(-2;-1)},\qquad \boxed{x=-2}. \]

---

№ 2. Найти \(p\) и \(q\)

Функция:

\[ y=x^2+px+q. \]

Для точки \(A(-2;-4)\):

\[ -4=(-2)^2-2p+q, \]

\[ -2p+q=-8. \]

Для точки \(B(1;2)\):

\[ 2=1+p+q, \]

\[ p+q=1. \]

Решаем систему:

\[ \begin{cases} -2p+q=-8,\\ p+q=1. \end{cases} \]

Получаем:

\[ \boxed{p=3,\qquad q=-2}. \]

---

№ 3. Монотонность функций

а) \(y=4x-9\)

\[ 4>0, \]

поэтому функция возрастает:

\[ \boxed{\text{возрастает на }(-\infty;+\infty)}. \]

б) \(y=-\frac12x+5\)

\[ -\frac12<0, \]

поэтому функция убывает:

\[ \boxed{\text{убывает на }(-\infty;+\infty)}. \]

в) \(\displaystyle y=\frac6x\)

Числитель положительный:

\[ 6>0. \]

Значит, функция убывает на каждом промежутке области определения:

\[ \boxed{\text{убывает на }(-\infty;0)} \]

и

\[ \boxed{\text{убывает на }(0;+\infty)}. \]

г) \(\displaystyle y=-\frac2x\)

Числитель отрицательный:

\[ -2<0. \]

Значит, функция возрастает:

\[ \boxed{\text{возрастает на }(-\infty;0)} \]

и

\[ \boxed{\text{возрастает на }(0;+\infty)}. \]

д) \(\displaystyle y=\frac{\sqrt t+3}{x},\quad t\geqslant0\)

Так как \(t\geqslant0\), то

\[ \sqrt t\geqslant0, \]

следовательно,

\[ \sqrt t+3>0. \]

Числитель положительный, поэтому функция убывает:

\[ \boxed{\text{убывает на }(-\infty;0)} \]

и

\[ \boxed{\text{убывает на }(0;+\infty)}. \]

---

№ 4. Монотонность параболы

а) \(y=x^2-6x+4\)

\[ x_{\text{в}}=-\frac{-6}{2\cdot1}=3. \]

Так как \(a=1>0\), функция сначала убывает, затем возрастает:

\[ \boxed{\text{убывает на }(-\infty;3)} \]

\[ \boxed{\text{возрастает на }(3;+\infty)}. \]

б) \(y=-2x^2+4x+1\)

\[ x_{\text{в}}=-\frac4{2\cdot(-2)}=1. \]

Так как \(a=-2<0\), функция сначала возрастает, затем убывает:

\[ \boxed{\text{возрастает на }(-\infty;1)} \]

\[ \boxed{\text{убывает на }(1;+\infty)}. \]

в) \(y=0{,}5x^2+x-3\)

\[ x_{\text{в}}=-\frac1{2\cdot0{,}5}=-1. \]

Так как \(a=0{,}5>0\), функция убывает, затем возрастает:

\[ \boxed{\text{убывает на }(-\infty;-1)} \]

\[ \boxed{\text{возрастает на }(-1;+\infty)}. \]

---

№ 6. Сложная функция

Дано:

\[ f(x)=2-x,\qquad g(x)=\frac3{\sqrt x}. \]

а) \(f(g(x))\)

Вместо \(x\) в формулу \(f(x)\) подставляем \(g(x)\):

\[ f(g(x))=2-\frac3{\sqrt x}. \]

Область определения:

\[ x>0. \]

\[ \boxed{f(g(x))=2-\frac3{\sqrt x}},\qquad \boxed{x>0}. \]

б) \(g(f(x))\)

Вместо \(x\) в формулу \(g(x)\) подставляем \(f(x)\):

\[ g(f(x))=\frac3{\sqrt{2-x}}. \]

Так как корень находится в знаменателе:

\[ 2-x>0, \]

\[ x<2. \]

\[ \boxed{g(f(x))=\frac3{\sqrt{2-x}}},\qquad \boxed{x<2}. \]

---

Дополнительный вариант № 6

\[ f(x)=5x+1,\qquad g(x)=\frac2x. \]

а) \(f(g(x))\)

\[ f(g(x))=5\cdot\frac2x+1 =\frac{10}{x}+1. \]

\[ \boxed{f(g(x))=\frac{10}{x}+1},\qquad \boxed{x\ne0}. \]

б) \(g(f(x))\)

\[ g(f(x))=\frac2{5x+1}. \]

Знаменатель не равен нулю:

\[ 5x+1\ne0, \]

\[ x\ne-\frac15. \]

\[ \boxed{g(f(x))=\frac2{5x+1}},\qquad \boxed{x\ne-\frac15}. \]

Конечно. Покажу подробно, как решается система из задания № 2.

Мы получили:

\[ \begin{cases} -2p+q=-8,\\ p+q=1. \end{cases} \]

Нужно найти \(p\) и \(q\).

Шаг 1. Убираем \(q\)

Вычтем из первого уравнения второе:

\[ (-2p+q)-(p+q)=-8-1. \]

Раскрываем скобки:

\[ -2p+q-p-q=-9. \]

Слагаемые \(q\) уничтожаются:

\[ q-q=0. \]

Остаётся:

\[ -3p=-9. \]

Делим обе части на \(-3\):

\[ p=3. \]

Шаг 2. Находим \(q\)

Подставляем \(p=3\) во второе уравнение:

\[ p+q=1. \]

Получаем:

\[ 3+q=1. \]

Вычитаем \(3\) из обеих частей:

\[ q=1-3=-2. \]

Ответ:

\[ \boxed{p=3,\qquad q=-2}. \]

Проверка

Подставим значения в систему:

\[ -2\cdot3+(-2)=-6-2=-8, \]

\[ 3+(-2)=1. \]

Оба равенства верны.