Реши задание на изображении

Краткий ответ

Ищем действительные корни:

1. \(x=-5,-3,3\)
2. \(x=-4,-3,3\)
3. \(x=-3,2\)
4. \(x=-4,1\)
5. \(x=-5,1\)
6. \(x=-7\)
7. \(x=-2\)
8. \(x=-5\)

Решение

1–2. Разложение на множители

1)
\[ x^3+5x^2-9x-45=0 \] Сгруппируем: \[ x^2(x+5)-9(x+5)=0, \] \[ (x+5)(x^2-9)=0, \] \[ (x+5)(x-3)(x+3)=0. \] Отсюда: \[ x=-5,\quad x=3,\quad x=-3. \]

2)
\[ x^3+4x^2-9x-36=0 \] \[ x^2(x+4)-9(x+4)=0, \] \[ (x+4)(x^2-9)=0, \] \[ (x+4)(x-3)(x+3)=0. \] Отсюда: \[ x=-4,\quad x=3,\quad x=-3. \]

3–5. Разность квадратов

Используем формулу: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b), \] причём \(x^4=(x^2)^2\).

3)
\[ x^4=(x-6)^2 \] \[ (x^2-x+6)(x^2+x-6)=0. \] Первое уравнение действительных корней не имеет: \[ D=1-24=-23<0. \] Второе: \[ x^2+x-6=(x+3)(x-2)=0. \] \[ \boxed{x=-3,\ 2} \]

4)
\[ x^4=(3x-4)^2 \] \[ (x^2-3x+4)(x^2+3x-4)=0. \] Для первого множителя: \[ D=9-16=-7<0. \] Второй раскладывается: \[ x^2+3x-4=(x+4)(x-1). \] \[ \boxed{x=-4,\ 1} \]

5)
\[ x^4=(4x-5)^2 \] \[ (x^2-4x+5)(x^2+4x-5)=0. \] Для первого множителя: \[ D=16-20=-4<0. \] Второй: \[ x^2+4x-5=(x+5)(x-1). \] \[ \boxed{x=-5,\ 1} \]

6–8. Сумма квадратов

Для действительных чисел: \[ a^2+b^2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=0\text{ и }b=0. \]

6)
\[ \begin{cases} x^2-49=0,\\ x^2+4x-21=0. \end{cases} \] Из первого: \[ x=\pm7. \] Из второго: \[ x^2+4x-21=(x+7)(x-3)=0, \] \[ x=-7\ или\ x=3. \] Общий корень: \[ \boxed{x=-7}. \]

7)
\[ \begin{cases} x^2-4=0,\\ x^2-3x-10=0. \end{cases} \] \[ x=\pm2, \] \[ x^2-3x-10=(x-5)(x+2)=0, \] \[ x=5\ или\ x=-2. \] Общий корень: \[ \boxed{x=-2}. \]

8)
\[ \begin{cases} x^2-25=0,\\ x^2+2x-15=0. \end{cases} \] \[ x=\pm5, \] \[ x^2+2x-15=(x+5)(x-3)=0, \] \[ x=-5\ или\ x=3. \] Общий корень: \[ \boxed{x=-5}. \]

Проверка: в заданиях 6–8 найденные значения обращают в ноль оба выражения под квадратами, поэтому сумма квадратов действительно равна нулю.