Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- \(AC=9\)
- \(\cos\angle ABC=\frac18\)
- \(AC=16\)
- \(\cos\angle ABC=-\frac15\)
- \(AC=20\)
- \(\cos\angle ABC=-\frac1{10}\)
- \(AC=18\)
- \(AC=6\)
- \(AC=15\)
1, 3, 5, 7–9. Теорема синусов
Обозначим \(BC=a\), \(AC=b\). Тогда:
\[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}, \qquad AC=BC\cdot\frac{\sin B}{\sin A}. \]
1.
\[ AC=3\sqrt6\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =3\sqrt6\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=9. \]
3.
\[ AC=8\sqrt2\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ} =8\sqrt2\cdot\sqrt2=16. \]
5.
\[ AC=10\sqrt2\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ} =10\sqrt2\cdot\sqrt2=20. \]
7.
\[ AC=6\sqrt6\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =6\sqrt6\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=18. \]
8.
\[ AC=6\sqrt2\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ} =6\sqrt2\cdot\frac1{\sqrt2}=6. \]
9.
\[ AC=5\sqrt6\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =5\sqrt6\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=15. \]
2, 4, 6. Теорема косинусов
Для угла \(B=\angle ABC\) противоположная сторона — \(AC\):
\[ \cos B= \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}. \]
2.
\[ \cos B=\frac{8^2+10^2-12^2}{2\cdot8\cdot10} =\frac{64+100-144}{160} =\frac{20}{160}=\frac18. \]
4.
\[ \cos B=\frac{8^2+10^2-14^2}{2\cdot8\cdot10} =\frac{64+100-196}{160} =-\frac{32}{160}=-\frac15. \]
6.
\[ \cos B=\frac{5^2+7^2-9^2}{2\cdot5\cdot7} =\frac{25+49-81}{70} =-\frac7{70}=-\frac1{10}. \]
Проверка: все найденные значения косинусов находятся в пределах от \(-1\) до \(1\), а найденные стороны положительны.
