Реши задание на изображении

Решение

1. Найдём нули функций

Нуль функции — это такое значение \(x\), при котором значение функции равно нулю, то есть нужно решить уравнение:

\[ y=0. \]

а) \(y=x^2-4\)

Приравняем функцию к нулю:

\[ x^2-4=0. \]

Перенесём \(4\) в правую часть:

\[ x^2=4. \]

Следовательно,

\[ x=\pm 2. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=-2,\quad x_2=2} \]

---

б) \(y=(x-5)(x+2)\)

Приравняем функцию к нулю:

\[ (x-5)(x+2)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ x-5=0 \quad \text{или} \quad x+2=0. \]

Отсюда:

\[ x=5 \quad \text{или} \quad x=-2. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=-2,\quad x_2=5} \]

---

в) \(y=x^2-6x\)

Приравняем функцию к нулю:

\[ x^2-6x=0. \]

Вынесем \(x\) за скобки:

\[ x(x-6)=0. \]

Произведение равно нулю, если:

\[ x=0 \quad \text{или} \quad x-6=0. \]

Отсюда:

\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=6. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=0,\quad x_2=6} \]

---

г) \(y=x^2-2x-15\)

Приравняем функцию к нулю:

\[ x^2-2x-15=0. \]

Разложим квадратный трёхчлен на множители. Нужно найти два числа, произведение которых равно \(-15\), а сумма равна \(-2\). Это числа \(-5\) и \(3\):

\[ x^2-2x-15=(x-5)(x+3). \]

Тогда:

\[ (x-5)(x+3)=0. \]

Следовательно:

\[ x-5=0 \quad \text{или} \quad x+3=0. \]

Отсюда:

\[ x=5 \quad \text{или} \quad x=-3. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=-3,\quad x_2=5} \]

---

3. Определим промежутки знакопостоянства функций

Промежутки знакопостоянства — это промежутки, на которых функция сохраняет один знак:

• \(y>0\) — функция положительна;
• \(y<0\) — функция отрицательна.

Точки, в которых \(y=0\), в положительные или отрицательные промежутки не включаются.

---

а) \(y=6x-18\)

Разложим выражение на множители:

\[ y=6x-18=6(x-3). \]

Найдём нуль функции:

\[ 6(x-3)=0. \]

Так как \(6\ne 0\), получаем:

\[ x-3=0, \]

\[ x=3. \]

Рассмотрим знак выражения \(6(x-3)\):

• если \(x<3\), то \(x-3<0\), поэтому \(y<0\);
• если \(x=3\), то \(y=0\);
• если \(x>3\), то \(x-3>0\), поэтому \(y>0\).

Ответ:

\[ \boxed{y<0\text{ при }x\in(-\infty;3)} \]

\[ \boxed{y>0\text{ при }x\in(3;+\infty)} \]

При \(x=3\):

\[ y=0. \]

---

б) \(y=7x^2-21x\)

Вынесем общий множитель \(7x\):

\[ y=7x(x-3). \]

Найдём нули функции:

\[ 7x(x-3)=0. \]

Отсюда:

\[ x=0 \quad \text{или} \quad x-3=0, \]

\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=3. \]

Эти точки делят числовую прямую на три промежутка:

\[ (-\infty;0),\qquad (0;3),\qquad (3;+\infty). \]

Проверим знак на каждом промежутке:

1. Если \(x<0\), то \(x<0\) и \(x-3<0\). Произведение двух отрицательных чисел положительно:

\[ y>0. \]

2. Если \(0<x<3\), то \(x>0\), а \(x-3<0\). Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно:

\[ y<0. \]

3. Если \(x>3\), то \(x>0\) и \(x-3>0\). Произведение положительных чисел положительно:

\[ y>0. \]

Ответ:

\[ \boxed{y>0\text{ при }x\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty)} \]

\[ \boxed{y<0\text{ при }x\in(0;3)} \]

При \(x=0\) и \(x=3\):

\[ y=0. \]

---

в) \(y=(x-5)^2\)

Функция является квадратом выражения. Квадрат любого числа не может быть отрицательным:

\[ (x-5)^2\ge 0. \]

Найдём, когда функция равна нулю:

\[ (x-5)^2=0. \]

Это возможно только при:

\[ x-5=0, \]

\[ x=5. \]

При всех остальных значениях \(x\):

\[ (x-5)^2>0. \]

Значит:

• \(y>0\) при \(x<5\) и при \(x>5\);
• \(y=0\) при \(x=5\);
• отрицательных значений функция не принимает.

Ответ:

\[ \boxed{y>0\text{ при }x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty)} \]

\[ \boxed{y<0\text{ — нет таких промежутков}} \]

При \(x=5\):

\[ y=0. \]

Итоговые ответы

1. Нули функций:

\[ \boxed{\text{а) }-2,\ 2;\qquad \text{б) }-2,\ 5;\qquad \text{в) }0,\ 6;\qquad \text{г) }-3,\ 5.} \]

3. Промежутки знакопостоянства:

\[ \boxed{\text{а) }y<0\text{ на }(-\infty;3),\quad y>0\text{ на }(3;+\infty);} \]

\[ \boxed{\text{б) }y>0\text{ на }(-\infty;0)\cup(3;+\infty),\quad y<0\text{ на }(0;3);} \]

\[ \boxed{\text{в) }y>0\text{ на }(-\infty;5)\cup(5;+\infty),\quad y<0\text{ нет.}} \]