Реши задание на изображении
Упрощение дроби
Я работаю над упрощением дроби a/((a-2)(a+2)). Сначала я умножаю числитель на a, а затем вычисляю разность. Разность становится равной (a+4)(a+2) - a^2, что упрощается до 6a + 8. Таким образом, я получаю результат (6a + 8)/[a(a-2)(a+2)], или 2(3a + 4)/(a(a^2 - 4)). Следует помнить об ограничениях: a не может быть равным 0, 2 или -2.
Рассмотрение равенства
Я рассматриваю равенство двух дробей: \(-\frac{3x}{16-x^2}=\frac{3x}{x^2-16}\). Похоже, что я могу упростить выражения, учитывая, как \(-3x/(16-x^2)\) преобразуется в ходе вывода. Кроме того, для выражения \(96a \left(\frac{6a+8}{a^3-4a}\right)\), возможно, будет полезно разложить знаменатель на множители. Пока всё выглядит хорошо!
Краткий ответ
№ 96
а)
\[
\frac{2(3a+4)}{a(a-2)(a+2)},\qquad a\ne0,\pm2
\]
б)
\[
-\frac{3x}{16-x^2},\qquad x\ne\pm4
\]
в)
\[
2,\qquad a\ne0,\ a+b\ne0,\ a-b\ne0
\]
г)
\[
0,\qquad x\ne\pm2
\]
№ 97
а)
\[
\frac1{x(x-1)(x+1)},\qquad
x=-1{,}5:\quad \boxed{-\frac8{15}}
\]
б)
\[
-\frac2{x(x-3)},\qquad
x=-1{,}5:\quad \boxed{-\frac8{27}}
\]
Решение
Принцип: разложить многочлены на множители, привести дроби к общему знаменателю и сокращать только множители.
№ 96
а)
\[ a^2-2a=a(a-2),\qquad a^2-4=(a-2)(a+2). \]
\[ \begin{aligned} \frac{a+4}{a(a-2)}-\frac{a}{(a-2)(a+2)} &=\frac{(a+4)(a+2)-a^2}{a(a-2)(a+2)}\\ &=\frac{a^2+6a+8-a^2}{a(a-2)(a+2)}\\ &=\frac{6a+8}{a(a-2)(a+2)}\\ &=\frac{2(3a+4)}{a(a-2)(a+2)}. \end{aligned} \]
б)
\[ 16-x^2=(4-x)(x+4). \]
\[ \begin{aligned} \frac{4-x^2}{16-x^2}-\frac{x+1}{x+4} &=\frac{4-x^2-(x+1)(4-x)}{(4-x)(x+4)}\\ &=\frac{-3x}{16-x^2}. \end{aligned} \]
в)
\[ a^2+ab=a(a+b),\qquad a^2-ab=a(a-b). \]
\[ \begin{aligned} \frac{(a+b)^2}{a(a+b)}+\frac{(a-b)^2}{a(a-b)} &=\frac{a+b}{a}+\frac{a-b}{a}\\ &=\frac{2a}{a}=2. \end{aligned} \]
г)
\[ x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x^2+4x+4=(x+2)^2. \]
\[ \begin{aligned} \frac{x^2-4}{5x-10}-\frac{x^2+4x+4}{5x+10} &=\frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)} -\frac{(x+2)^2}{5(x+2)}\\ &=\frac{x+2}{5}-\frac{x+2}{5}=0. \end{aligned} \]
№ 97
а)
\[ x^2-x=x(x-1),\qquad x^2-1=(x-1)(x+1). \]
\[ \begin{aligned} \frac{x+1}{x^2-x}-\frac{x+2}{x^2-1} &=\frac{(x+1)^2-x(x+2)} {x(x-1)(x+1)}\\ &=\frac{x^2+2x+1-x^2-2x} {x(x-1)(x+1)}\\ &=\frac1{x(x-1)(x+1)}. \end{aligned} \]
При \(x=-1{,}5=-\frac32\):
\[ \frac1{\left(-\frac32\right)\left(-\frac52\right)\left(-\frac12\right)} =\frac1{-\frac{15}{8}} =-\frac8{15}. \]
б)
\[ x^2+3x=x(x+3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3). \]
\[ \begin{aligned} \frac{x+2}{x^2+3x}-\frac{x+1}{x^2-9} &=\frac{(x+2)(x-3)-x(x+1)} {x(x+3)(x-3)}\\ &=\frac{x^2-x-6-x^2-x} {x(x+3)(x-3)}\\ &=\frac{-2(x+3)}{x(x+3)(x-3)}\\ &=-\frac2{x(x-3)}. \end{aligned} \]
При \(x=-1{,}5=-\frac32\):
\[ -\frac2{\left(-\frac32\right)\left(-\frac92\right)} =-\frac2{\frac{27}{4}} =-\frac8{27}. \]
