2 нуска

Қысқаша жауап (II нұсқа)

1. а) \(\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{AA_1}\);
   б) \(\overrightarrow{AD}\) және \(\overrightarrow{BC}\) — коллинеар;
   в) \(\overrightarrow{AD}\) және \(\overrightarrow{DA}\) — қарама-қарсы.

2. \(\boxed{|\overrightarrow{AB}|=13}\)

3. \(\boxed{\text{Параллель емес}}\)

4. \(\boxed{\cos\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}}\), бұрыш \(45^\circ\).

Шешуі

1. Кубтағы векторлар

• Кубтың бір төбесінен шығатын перпендикуляр қырлар өзара \(90^\circ\) бұрыш жасайды:
  \[ \overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{AA_1}. \]

• Кубтың қарама-қарсы сәйкес қырлары параллель, сондықтан:
  \[ \overrightarrow{AD}\parallel\overrightarrow{BC}. \]

• Вектор бағытын кері өзгертсек, қарама-қарсы вектор шығады:
  \[ \overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}. \]

2. \(\overrightarrow{AB}\) ұзындығы

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A) \]

\[ \overrightarrow{AB}=(2-(-3);\,-7-5)=(5;\,-12). \]

Вектор ұзындығы:

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5^2+(-12)^2} =\sqrt{25+144} =\sqrt{169}=13. \]

3. Векторлардың параллельдігін тексеру

\[ 2\vec m+3\vec n=2(2;1)+3(-4;2) =(4;2)+(-12;6)=(-8;8). \]

\[ 2\vec m-3\vec n=2(2;1)-3(-4;2) =(4;2)-(-12;6)=(16;-4). \]

Параллельдік шарты:

\[ x_1y_2-y_1x_2=0. \]

Тексерейік:

\[ (-8)(-4)-8\cdot16=32-128=-96\neq0. \]

Демек, векторлар параллель емес.

4. \(\overrightarrow{CB}\) және \(\overrightarrow{CD}\) арасындағы бұрыш

\[ \overrightarrow{CB}=B-C=(1-4;\,1-4)=(-3;-3), \]

\[ \overrightarrow{CD}=D-C=(0-4;\,4-4)=(-4;0). \]

Скаляр көбейтіндісі:

\[ \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD} =(-3)(-4)+(-3)\cdot0=12. \]

Ұзындықтары:

\[ |\overrightarrow{CB}|=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}=3\sqrt2, \]

\[ |\overrightarrow{CD}|=\sqrt{(-4)^2}=4. \]

Формула бойынша:

\[ \cos\alpha= \frac{\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}} {|\overrightarrow{CB}|\cdot|\overrightarrow{CD}|} = \frac{12}{3\sqrt2\cdot4} = \frac1{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}. \]