Номер 356
Вычисление площадей под кривыми
Необходимо вычислить площади для нескольких функций: для b с уравнением \(y=2\cos(2x)\) при \(x=-\pi/4\) и \(x=\pi/4\); для c, где \(y=\sin(x)-1/2\) при \(x=\pi/6\) и \(x=5\pi/6\); и для d с \(y=1-\cos(x)\) от \(x=-\pi/2\) до \(x=\pi/2\). Также нужно объяснить использование абсолютных значений и разбиение промежутка в точках пересечения кривой с осью \(x\). Кроме того, следует рассмотреть функцию \(f=3\sin(x+3\pi/4)\) на интервале \([-3\pi/4, 3\pi/4]\).
Вычисление площадей под кривыми
Необходимо вычислить две площади. Во-первых, для функции b с \(f=2\cos(2x)\) на интервале \([-\pi/4,\pi/4]\) интегрирование даёт площадь 2. Пересечений, кроме концов интервала, нет, причём \(\cos(2x)\) положительна.
Далее, для функции c, \(f=\sin(x)-1/2\), на интервале от \(\pi/6\) до \(5\pi/6\) функция \(\sin(x)\) остаётся не ниже \(1/2\), поэтому площадь также положительна. Необходимо определить пределы интегрирования для этого случая.
Вычисление площади под кривой
Рассматривается вычисление для функции \(f=1-\cos(x)\) на интервале \([-\pi/2,\pi/2]\). Похоже, что функция неотрицательна, за исключением точки \(x=0\). Площадь под кривой можно найти интегрированием: \[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1-\cos(x))\,dx, \] что даёт \(\pi-2\). Также необходимо проверить, требуется ли вычислить какую-либо конкретную площадь, связанную с упоминанием числа 356. Следует уточнить этапы и формулы и представить точные результаты без излишних подробностей.
Вычисление площадей под кривыми
Рассматривается ряд функций для вычисления площадей:
a) \(y=3\sin(x+3\pi/4)\), с границами \(x=-3\pi/4\) и \(x=3\pi/4\).
b) \(y=2\cos(2x)\), при \(x\) от \(-\pi/4\) до \(\pi/4\).
c) \(y=\sin(x)-1/2\) при \(x=\pi/6\) и \(x=5\pi/6\).
d) \(y=1-\cos(x)\), от \(x=-\pi/2\) до \(\pi/2\).
Необходимо вычислить площадь для каждой кривой с учётом знаков и правильно указать окончательные ответы. Принцип будет представлен на русском языке с ясным изложением вычислений.
Уточнение анализа интеграла
Рассматривается площадь, включающая положительные и отрицательные участки. При \(x=-3\pi/4\) кривая пересекает ось \(x\), образуя вырожденную вертикальную точку. Предполагается, что конечные точки по \(x\) равны \(-3\pi/4\) и \(3\pi/4\), однако существенной может быть точка \(x=3\pi/4\). Для понимания целесообразно ответить на русском языке, используя «Краткий ответ», а затем объяснение. Также необходимо проверить правильность вычисления первообразной.
Анализ тригонометрических интегралов
Пусть \(t=x+3\pi/4\). Тогда \(t\) изменяется от 0 до \(3\pi/2\). Синус положителен на отрезке от 0 до \(\pi\) и отрицателен на отрезке от \(\pi\) до \(3\pi/2\), причём в точке \(x=\pi/4\) функция равна нулю. Явное вычисление интеграла упрощается до \(S=9\) для заданных интервалов.
Для части b используется \(t=2x\), и соответствующая площадь равна \(S=2\). Следующие шаги должны охватывать остальные компоненты и объяснить, как находить точки пересечения.
Краткий ответ:
\[ \boxed{\text{а) }9;\qquad \text{б) }2;\qquad \text{в) }\sqrt3-\frac{\pi}{3};\qquad \text{г) }\pi-2} \]
Площадь между графиком \(y=f(x)\) и осью \(Ox\) вычисляется так:
\[ S=\int_a^b |f(x)|\,dx. \]
Если функция меняет знак, интеграл нужно разбить на части.
а) \(y=3\sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right)\)
На отрезке \(\left[-\frac{3\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]\) функция меняет знак при
\[ x+\frac{3\pi}{4}=\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}. \]
Поэтому:
\[ S=3\int_0^\pi\sin t\,dt+ 3\int_\pi^{3\pi/2}(-\sin t)\,dt =6+3=\boxed{9}. \]
б) \(y=2\cos 2x\)
На отрезке \(\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]\) функция неотрицательна:
\[ S=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}2\cos 2x\,dx =\left.\sin 2x\right|_{-\pi/4}^{\pi/4} =1-(-1)=\boxed{2}. \]
в) \(y=\sin x-\frac12\)
На отрезке \(\left[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}\right]\) функция неотрицательна и обращается в ноль на концах:
\[ \begin{aligned} S&=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\left(\sin x-\frac12\right)\,dx\\ &=\left.-\cos x-\frac{x}{2}\right|_{\pi/6}^{5\pi/6}\\ &=\boxed{\sqrt3-\frac{\pi}{3}}. \end{aligned} \]
г) \(y=1-\cos x\)
Функция \(1-\cos x\ge 0\), поэтому:
\[ \begin{aligned} S&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1-\cos x)\,dx\\ &=\left.x-\sin x\right|_{-\pi/2}^{\pi/2}\\ &=\boxed{\pi-2}. \end{aligned} \]
Все найденные значения положительны, значит результат согласуется с геометрическим смыслом площади.
