Решите примеры

Краткие ответы

По порядку: слева направо и сверху вниз.

1. \(\sqrt[5]{9-3x}=0\): \(\boxed{x=3}\)
2. \(\sqrt{3x+1}=x-3\): \(\boxed{x=8}\)
3. \(\sqrt{4x^2+5x-2}=2\): \(\boxed{x=-2;\ \frac34}\)
4. \(\sqrt{x-1}=6-\sqrt{2x+6}\): \(\boxed{x=5}\)
5. \(\sqrt{x^2-36}=\sqrt{2x-1}\): \(\boxed{x=7}\)
6. \(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2-3x+6}=3\): \(\boxed{x=1;\ 2}\)
7. \(x+\sqrt{3x+7}=7\): \(\boxed{x=3}\)
8. \(x^2-4x-6=\sqrt{2x^2-8x+12}\): \(\boxed{x=-2;\ 6}\)
9. \(\sqrt{x-1}+\sqrt{2x+6}=6\): \(\boxed{x=5}\)
10. \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\): \(\boxed{x\in[5;10]}\)
11. \(2x^2+3x+\sqrt{2x^2+3x+9}=33\): \(\boxed{x=-\frac92;\ 3}\)
12. \(\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}=a\): \(\boxed{a=0}\), при этом \(x=1\).

Ключевые шаги

1. \[ \sqrt[5]{9-3x}=0\Rightarrow 9-3x=0\Rightarrow x=3. \]

2. Возводим в квадрат: \[ 4x^2+5x-2=4, \] \[ 4x^2+5x-6=0=(4x-3)(x+2). \] Отсюда: \[ x=\frac34,\quad x=-2. \] В обоих случаях подкоренное выражение равно \(4\), значит корни подходят.

3. ОДЗ: \[ x^2-36\ge0,\qquad 2x-1\ge0. \] Отсюда \(x\ge6\). Возводим в квадрат: \[ x^2-36=2x-1, \] \[ x^2-2x-35=0, \] \[ (x-7)(x+5)=0. \] Из ОДЗ подходит только \(x=7\).

4 и 9. Эти уравнения сводятся к одному: \[ \sqrt{x-1}+\sqrt{2x+6}=6. \] Пусть \[ u=\sqrt{x-1},\qquad u\ge0. \] Тогда \(x=u^2+1\), поэтому \[ u+\sqrt{2u^2+8}=6. \] \[ \sqrt{2u^2+8}=6-u. \] Возводим в квадрат: \[ 2u^2+8=(6-u)^2, \] \[ u^2+12u-28=0, \] \[ (u-2)(u+14)=0. \] Так как \(u\ge0\), \(u=2\). Тогда \[ x=u^2+1=5. \] Проверка: \[ \sqrt4+\sqrt{16}=2+4=6. \]

5. \[ x^2-36\ge0,\qquad 2x-1\ge0. \] Следовательно, \(x\ge6\). После возведения в квадрат: \[ x^2-36=2x-1, \] \[ (x-7)(x+5)=0. \] Подходит только \(x=7\). Проверка: \[ \sqrt{49-36}=\sqrt{14-1}=\sqrt{13}. \]

6. Обозначим \[ t=x^2-3x+3. \] Тогда: \[ \sqrt t+\sqrt{t+3}=3. \] \[ \sqrt{t+3}=3-\sqrt t. \] После возведения в квадрат: \[ t+3=9-6\sqrt t+t, \] \[ \sqrt t=1,\qquad t=1. \] Значит: \[ x^2-3x+3=1, \] \[ x^2-3x+2=0, \] \[ x=1,\quad x=2. \]

7. \[ \sqrt{3x+7}=7-x, \] поэтому \(x\le7\). Возводим в квадрат: \[ 3x+7=(7-x)^2, \] \[ x^2-17x+42=0, \] \[ (x-3)(x-14)=0. \] Условию \(x\le7\) соответствует только \(x=3\).

8. Пусть \[ u=x^2-4x. \] Тогда: \[ u-6=\sqrt{2u+12}. \] Правая часть неотрицательна, значит \(u\ge6\). Возводим в квадрат: \[ (u-6)^2=2u+12, \] \[ u^2-14u+24=0, \] \[ u=2\quad\text{или}\quad u=12. \] Значение \(u=2\) не подходит, так как \(u\ge6\). Тогда: \[ x^2-4x=12, \] \[ x^2-4x-12=0, \] \[ x=-2,\quad x=6. \]

10. Пусть \[ t=\sqrt{x-1},\qquad t\ge0,\qquad x=t^2+1. \] Тогда: \[ x+3-4\sqrt{x-1}=(t-2)^2, \] \[ x+8-6\sqrt{x-1}=(t-3)^2. \] Уравнение принимает вид: \[ |t-2|+|t-3|=1. \] Сумма расстояний от точки \(t\) до точек \(2\) и \(3\) равна расстоянию между ними только при \[ 2\le t\le3. \] Значит: \[ 5=t^2+1\le x\le t^2+1=10. \] Следовательно, \[ \boxed{x\in[5;10]}. \]

11. Обозначим \[ u=2x^2+3x. \] Тогда: \[ u+\sqrt{u+9}=33. \] Пусть \[ v=\sqrt{u+9},\qquad v\ge0. \] Тогда \(u=v^2-9\), и: \[ v^2-9+v=33, \] \[ v^2+v-42=0, \] \[ (v-6)(v+7)=0. \] Так как \(v\ge0\), \(v=6\). Значит: \[ u=36-9=27. \] \[ 2x^2+3x=27, \] \[ 2x^2+3x-27=0. \] Отсюда: \[ x=3,\qquad x=-\frac92. \]

12. Для существования корней необходимо одновременно: \[ x-1\ge0,\qquad 1-x\ge0. \] Это возможно только при \(x=1\). Тогда: \[ \sqrt0+\sqrt0=0. \] Следовательно, параметр: \[ \boxed{a=0}. \]

Главное правило: сначала находи ОДЗ, затем при возведении в квадрат проверяй знак изолированной части и в конце подставляй найденные значения в исходное уравнение.