сдедай 42-45 первую половину
Оценка решений упражнений
Думаю, я могу подойти к задаче, разбив первую половину упражнений на пронумерованные пункты. В упражнении 42 четыре пункта, и я замечаю закономерность: пункты в упражнениях 42–45 можно интерпретировать и решать похожим образом. Мне нужно внимательно прочитать и вычислить эти выражения, начав с вычислений для каждого пункта. Например, использование свойств степеней поможет мне эффективно упростить вычисления. Давайте разберёмся!
Решение выражений с корнями и степенями
Я работаю с некоторыми математическими выражениями. Сначала я нахожу \( \sqrt{\sqrt[3]{729}} \), что упрощается до \( \sqrt{9} \), давая 3, поскольку \( 9^3 \) равно 729. Затем я рассматриваю \( \sqrt[5]{\sqrt{1024}} \). Это превращается в \( \sqrt[5]{32} \), что упрощается до 2, поскольку \( 2^5 \) равно 32. Приятно, когда всё сходится!
Уточнение намерения пользователя
Мне нужно интерпретировать просьбу пользователя относительно «первой половины». Вероятно, он просит выполнить первую половину упражнений 42–45. Я могу подтвердить это, сказав: «Выполняю первую половину каждого упражнения». Для задания 44 я, возможно, включу первые три пункта, тогда как в задании 45 четыре пункта. Мне также нужно будет ответить на русском языке и тщательно проверить упрощение \((\sqrt[6]{9})^{-3}\), убедившись в его правильности. Приступим!
Выполняю первую половину каждого упражнения: 42 (1–2), 43 (1–2), 44 (1–3), 45 (1–2).
Краткий ответ
42) 1) \(7\); 2) \(\dfrac13\).
43) 1) \(3\); 2) \(2\).
44) 1) \(x^2\); 2) \(y^2\); 3) \(a^3b^2\).
45) 1) \(x\in\left[\dfrac32;+\infty\right)\); 2) \(x\in[-3;+\infty)\).
Решение
Используем правила: \[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn},\qquad (a^p)^q=a^{pq}. \]
42. Вычислить
\[ \left(\sqrt[6]{7^3}\right)^2 =\left(7^{\frac36}\right)^2 =7^1=7. \]
\[ \left(\sqrt[6]{9}\right)^{-3} =\left(9^{\frac16}\right)^{-3} =9^{-\frac12} =\frac1{\sqrt9} =\frac13. \]
43. Вычислить
\[ \sqrt{\sqrt[3]{729}} =\sqrt{9} =3, \] так как \(\sqrt[3]{729}=9\).
\[ \sqrt[5]{\sqrt{1024}} =\sqrt[5]{32} =2, \] так как \(\sqrt{1024}=32\), а \(\sqrt[5]{32}=2\).
44. Упростить
\[ (\sqrt[3]{x})^6 =(x^{\frac13})^6 =x^2. \]
\[ (\sqrt[3]{y^2})^3 =\left((y^2)^{\frac13}\right)^3 =y^2. \]
\[ (\sqrt a\cdot\sqrt[3]{b})^6 =(a^{\frac12}b^{\frac13})^6 =a^3b^2. \]
45. Область допустимых значений
У корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
\[ \sqrt[6]{2x-3}: \quad 2x-3\ge 0, \] \[ x\ge \frac32. \]
\[ \sqrt[6]{x+3}: \quad x+3\ge0, \] \[ x\ge-3. \]
Границы входят, потому что корень из нуля имеет смысл.
