Реши задание на изображении

Қысқаша жауап

I нұсқа

1. \(\overrightarrow{AB}\) үшін:
   а) перпендикуляр — \(\overrightarrow{AD}\);
   б) коллинеар — \(\overrightarrow{DC}\);
   в) қарама-қарсы — \(\overrightarrow{AB}\) және \(\overrightarrow{BA}\).

2. \(|\overrightarrow{AB}|=13\).

3. Иә, векторлар перпендикуляр.

4. \(\cos\angle BAC=\dfrac35\).

II нұсқа

1. \(\overrightarrow{AD}\) үшін:
   а) перпендикуляр — \(\overrightarrow{AB}\);
   б) коллинеар — \(\overrightarrow{BC}\);
   в) қарама-қарсы — \(\overrightarrow{AD}\) және \(\overrightarrow{DA}\).

2. \(|\overrightarrow{AB}|=13\).

3. Жоқ, параллель емес.

4. \(\cos\angle BCD=\dfrac{\sqrt2}{2}\).

Екінші суреттегі тапсырмалар

• \(\vec a=(2;0)\), \(\vec b=(6;0)\): бұрыш \(0^\circ\), бағыттары бірдей.
• \(\vec a=(1;0)\), \(\vec b=(-4;0)\): бұрыш \(180^\circ\), бағыттары қарама-қарсы.

---

Шешуі

I нұсқа, 2-тапсырма

\[ \overrightarrow{AB}=(2-(-3);\,-7-5)=(5;-12). \]

Вектор ұзындығы:

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5^2+(-12)^2} =\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13. \]

---

I нұсқа, 3-тапсырма

\[ \vec m=(2;1),\qquad \vec n=(-1;2). \]

\[ 3\vec m+\vec n=(6;3)+(-1;2)=(5;5), \]

\[ \vec m-3\vec n=(2;1)-(-3;6)=(5;-5). \]

Скаляр көбейтіндісі:

\[ (5;5)\cdot(5;-5)=5\cdot5+5\cdot(-5)=25-25=0. \]

Скаляр көбейтінді \(0\) болғандықтан, векторлар перпендикуляр.

---

I нұсқа, 4-тапсырма

\[ \overrightarrow{AB}=(4-1;\,1-1)=(3;0), \]

\[ \overrightarrow{AC}=(4-1;\,5-1)=(3;4). \]

Формула:

\[ \cos\varphi= \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}. \]

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =3\cdot3+0\cdot4=9, \]

\[ |\overrightarrow{AB}|=3,\qquad |\overrightarrow{AC}|=5. \]

Сонда:

\[ \cos\varphi=\frac{9}{3\cdot5}=\frac35. \]

---

II нұсқа, 3-тапсырма

\[ \vec m=(2;1),\qquad \vec n=(-4;2). \]

\[ 2\vec m+3\vec n=(4;2)+(-12;6)=(-8;8), \]

\[ 2\vec m-3\vec n=(4;2)-(-12;6)=(16;-4). \]

Параллель болу үшін координаталар қатынастары бірдей болуы керек:

\[ \frac{-8}{16}=-\frac12,\qquad \frac{8}{-4}=-2. \]

Қатынастар тең емес, сондықтан векторлар параллель емес.

---

II нұсқа, 4-тапсырма

\[ \overrightarrow{CB}=B-C=(1-4;\,1-4)=(-3;-3), \]

\[ \overrightarrow{CD}=D-C=(0-4;\,4-4)=(-4;0). \]

\[ \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD} =(-3)(-4)+(-3)\cdot0=12. \]

\[ |\overrightarrow{CB}|=3\sqrt2,\qquad |\overrightarrow{CD}|=4. \]

\[ \cos\varphi= \frac{12}{3\sqrt2\cdot4} =\frac1{\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{2}. \]

Негізгі ережелер: перпендикуляр векторлардың скаляр көбейтіндісі \(0\)-ге тең, ал қарама-қарсы бағытталған векторлардың арасындағы бұрыш \(180^\circ\).