475,476
Краткий ответ
475. В условии не указано, какой отрезок расположен рядом с вершиной, из которой проведена биссектриса:
- если \(BK=7\) см, то \(P=56\) см;
- если \(BK=14\) см, то \(P=70\) см.
Обычно принимают \(BK=7\) см, тогда \(P=56\) см.
476.
а) \(\angle A=\angle C=84^\circ\), \(\angle B=\angle D=96^\circ\);
б) \(\angle A=\angle C=117^\circ30'\), \(\angle B=\angle D=62^\circ30'\);
в) \(\angle A=\angle C=71^\circ\), \(\angle B=\angle D=109^\circ\);
г) \(\angle A=\angle C=120^\circ\), \(\angle B=\angle D=60^\circ\);
д) \(\angle A=\angle C=53^\circ\), \(\angle B=\angle D=127^\circ\).
Ключевые шаги
Задача 475
Пусть биссектриса угла \(A\) пересекает \(BC\) в точке \(K\).
Так как \(AD\parallel BC\), а \(AK\) — биссектриса,
\[ \angle BAK=\angle KAD=\angle AKB. \]
Следовательно, треугольник \(ABK\) равнобедренный:
\[ AB=BK. \]
Кроме того,
\[ BC=7+14=21\text{ см}. \]
Поэтому:
- Если \(BK=7\) см:
\[ AB=7,\qquad P=2(AB+BC)=2(7+21)=56\text{ см}. \]
- Если \(BK=14\) см:
\[ AB=14,\qquad P=2(14+21)=70\text{ см}. \]
Задача 476
Используем свойства параллелограмма:
\[ \angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D, \]
\[ \angle A+\angle B=180^\circ. \]
а)
\[ \angle B=180^\circ-84^\circ=96^\circ. \]
б)
\[ \angle A-\angle B=55^\circ,\qquad \angle A+\angle B=180^\circ. \]
Отсюда:
\[ 2\angle A=235^\circ,\quad \angle A=117^\circ30', \]
\[ \angle B=62^\circ30'. \]
в)
\[ \angle A+\angle C=142^\circ,\qquad \angle A=\angle C, \]
\[ 2\angle A=142^\circ,\quad \angle A=\angle C=71^\circ. \]
Тогда:
\[ \angle B=\angle D=180^\circ-71^\circ=109^\circ. \]
г)
\[ \angle A=2\angle B,\qquad \angle A+\angle B=180^\circ. \]
\[ 3\angle B=180^\circ,\quad \angle B=60^\circ, \]
\[ \angle A=120^\circ. \]
д) Рассмотрим треугольник \(ACD\):
\[ \angle ADC=180^\circ-16^\circ-37^\circ=127^\circ. \]
Это угол \(D\) параллелограмма, значит:
\[ \angle B=127^\circ, \]
\[ \angle A=\angle C=180^\circ-127^\circ=53^\circ. \]
Проверка: в каждом случае противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна \(180^\circ\).
