Реши от первого до пятого номера с подробным решением и рисунками

Краткие ответы

1. \(3^\circ\) и \(177^\circ\).
2. \(10^\circ\) и \(170^\circ\).
3. \(24^\circ\) и \(156^\circ\).
4. \(36^\circ,\ 144^\circ,\ 36^\circ,\ 144^\circ\).
5. \(86^\circ\).

Все рисунки схематичны и выполнены не в масштабе.

---

1. Один угол на \(174^\circ\) меньше другого

Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\).

Рисунок

                  C
                 /
                /
A──────────────O──────────────B

∠AOC = x°,       ∠COB = (x + 174)°

Пусть меньший угол равен \(x^\circ\). Тогда больший равен \((x+174)^\circ\).

Составим уравнение:

\[ x+(x+174)=180. \]

\[ 2x+174=180, \]

\[ 2x=6, \]

\[ x=3^\circ. \]

Больший угол:

\[ 3^\circ+174^\circ=177^\circ. \]

Проверка:

\[ 3^\circ+177^\circ=180^\circ, \]

\[ 177^\circ-3^\circ=174^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{3^\circ\text{ и }177^\circ} \]

---

2. Один угол в \(17\) раз больше другого

Рисунок

                  C
                 /
                /
A──────────────O──────────────B

∠AOC = x°,       ∠COB = 17x°

Пусть меньший угол равен \(x^\circ\). Тогда больший равен \(17x^\circ\).

Так как углы смежные:

\[ x+17x=180. \]

\[ 18x=180, \]

\[ x=10^\circ. \]

Второй угол:

\[ 17\cdot10^\circ=170^\circ. \]

Проверка:

\[ 10^\circ+170^\circ=180^\circ, \]

\[ 170^\circ:10^\circ=17. \]

Ответ:

\[ \boxed{10^\circ\text{ и }170^\circ} \]

---

3. Градусные меры относятся как \(2:13\)

Рисунок

                  C
                 /
                /
A──────────────O──────────────B

∠AOC = 2x°,       ∠COB = 13x°

Пусть на одну часть приходится \(x^\circ\). Тогда углы равны \(2x^\circ\) и \(13x^\circ\).

Составим уравнение:

\[ 2x+13x=180. \]

\[ 15x=180, \]

\[ x=12^\circ. \]

Первый угол:

\[ 2\cdot12^\circ=24^\circ. \]

Второй угол:

\[ 13\cdot12^\circ=156^\circ. \]

Проверка:

\[ 24^\circ+156^\circ=180^\circ, \]

\[ 24^\circ:156^\circ=2:13. \]

Ответ:

\[ \boxed{24^\circ\text{ и }156^\circ} \]

---

4. Разность двух углов равна \(108^\circ\)

При пересечении двух прямых вертикальные углы равны, а смежные углы в сумме дают \(180^\circ\).

Рисунок

                 C
                /
       36°     /       144°
              /
A────────────O────────────B
      144°    \       36°
                \
                 D

Вертикальные углы равны, поэтому углы с разностью \(108^\circ\) являются смежными.

Пусть меньший угол равен \(x^\circ\), а больший — \(y^\circ\).

Тогда:

\[ \begin{cases} x+y=180,\\ y-x=108. \end{cases} \]

Сложим уравнения:

\[ 2y=288, \]

\[ y=144^\circ. \]

Найдём меньший угол:

\[ x=180^\circ-144^\circ=36^\circ. \]

Вертикальные углы равны, поэтому все четыре угла:

\[ 36^\circ,\ 144^\circ,\ 36^\circ,\ 144^\circ. \]

Проверка:

\[ 144^\circ-36^\circ=108^\circ, \]

\[ 36^\circ+144^\circ=180^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{36^\circ,\ 144^\circ,\ 36^\circ,\ 144^\circ} \]

---

5. Угол между биссектрисами

Рисунок

                         N
                        /
                       /
                  O   /
                 /   /
                /   /
               E────────────B
              /
             T

Луч \(EO\) проходит внутри угла \(NEB\), причём

\[ \angle NEB=16^\circ,\qquad \angle NEO=8^\circ. \]

Сначала найдём угол \(OEB\):

\[ \angle OEB=\angle NEB-\angle NEO. \]

\[ \angle OEB=16^\circ-8^\circ=8^\circ. \]

Так как углы \(NEB\) и \(BET\) смежные, их сумма равна \(180^\circ\):

\[ \angle BET=180^\circ-16^\circ=164^\circ. \]

Теперь найдём половины углов:

• биссектриса угла \(OEB\) образует с лучом \(EB\) угол

\[ \frac{8^\circ}{2}=4^\circ; \]

• биссектриса угла \(BET\) образует с лучом \(EB\) угол

\[ \frac{164^\circ}{2}=82^\circ. \]

Эти биссектрисы расположены по разные стороны от луча \(EB\), поэтому угол между ними равен:

\[ 4^\circ+82^\circ=86^\circ. \]

Проверка:

\[ \frac{\angle OEB+\angle BET}{2} = \frac{8^\circ+164^\circ}{2} = 86^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{86^\circ} \]