412

Краткий ответ: периметр квадрата равен \(\boxed{24\text{ см}}\).

Пусть сторона квадрата равна \(x\) см. Так как две стороны квадрата лежат на катетах, его вершины можно расположить так:

• \(CD=x\) — на катете \(CA\);
• \(CF=x\) — на катете \(CB\);
• \(E\) — противоположная вершина квадрата, лежащая на гипотенузе \(AB\).

Введём координаты: \(C(0;0)\), \(A(12;0)\), \(B(0;12)\). Тогда гипотенуза \(AB\) имеет уравнение

\[ X+Y=12. \]

Вершина квадрата \(E\) имеет координаты \((x;x)\). Так как она лежит на гипотенузе,

\[ x+x=12, \]

\[ 2x=12,\qquad x=6\text{ см}. \]

Периметр квадрата:

\[ P=4x=4\cdot6=\boxed{24\text{ см}}. \]

Проверка: точка \(E(6;6)\) действительно лежит на гипотенузе, потому что \(6+6=12\).