Реши задание на изображении

Хорошо, решу №53 и №56. Пришли изображение ещё раз или напиши условия заданий — сейчас их текст мне не отображается.

Это продолжение текущей задачи: на изображении присланы условия №53 и №56.

№53

Пусть \(O\) — общая середина отрезков \(A_1A_2\), \(B_1B_2\), \(C_1C_2\). Тогда

\[ \overrightarrow{OA_2}=-\overrightarrow{OA_1},\qquad \overrightarrow{OB_2}=-\overrightarrow{OB_1},\qquad \overrightarrow{OC_2}=-\overrightarrow{OC_1}. \]

Следовательно,

\[ \overrightarrow{A_2B_2} =\overrightarrow{OB_2}-\overrightarrow{OA_2} =-\overrightarrow{A_1B_1}, \]

значит,

\[ A_1B_1\parallel A_2B_2. \]

Аналогично:

\[ \overrightarrow{A_2C_2}=-\overrightarrow{A_1C_1}, \qquad A_1C_1\parallel A_2C_2. \]

Пересекающиеся прямые \(A_1B_1\) и \(A_1C_1\) одной плоскости соответственно параллельны пересекающимся прямым \(A_2B_2\) и \(A_2C_2\) другой плоскости. Значит, плоскости \((A_1B_1C_1)\) и \((A_2B_2C_2)\) либо параллельны, либо совпадают.

Совпадать они не могут, иначе все три отрезка лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию. Поэтому

\[ \boxed{(A_1B_1C_1)\parallel(A_2B_2C_2)}. \]

№56

Пусть \(\ell\) — любая прямая, проходящая через \(A\) и параллельная плоскости \(\beta\).

Возьмём точку \(B\in\beta\) и проведём плоскость \(\gamma\), содержащую прямую \(\ell\) и точку \(B\). Обозначим

\[ b=\gamma\cap\beta. \]

Так как \(\ell\parallel\beta\), прямая \(\ell\) не пересекает \(b\), а обе прямые лежат в плоскости \(\gamma\). Поэтому

\[ \ell\parallel b. \]

Плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(c\), проходящей через \(A\). Так как \(\alpha\parallel\beta\), линии их пересечения с плоскостью \(\gamma\) параллельны:

\[ c\parallel b. \]

Прямые \(\ell\) и \(c\) проходят через одну точку \(A\) и параллельны одной и той же прямой \(b\). Следовательно, они совпадают:

\[ \ell=c. \]

Значит, вся прямая \(\ell\) лежит в плоскости \(\alpha\):

\[ \boxed{\ell\subset\alpha}. \]