937

937. В трапеции \(MNLK\) боковые стороны — \(MN\) и \(LK\), поэтому \(NL\parallel MK\).

а) \(\vec{NL}\) и \(\vec{KL}\) — не равны, так как направлены по разным сторонам трапеции.

б) \(\vec{MS}=\vec{SN}\) — равны, поскольку \(S\) — середина \(MN\).

в) \(\vec{MN}\) и \(\vec{KL}\) — не равны: боковые стороны равны по длине, но соответствующие векторы имеют разные направления.

г) \(\vec{TS}\) и \(\vec{KM}\) — не равны. Отрезок \(ST\) — средняя линия трапеции, и
\[ ST=\frac{NL+MK}{2}\ne MK. \]

д) \(\vec{TL}=\vec{KT}\) — равны, поскольку \(T\) — середина \(LK\), и оба вектора направлены от \(K\) к \(L\).

Ответ:
\[ \boxed{\text{а) нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да.} \]

Стрелка у вектора ставится от первой буквы ко второй:

• \(\overrightarrow{NL}\): от \(N\) к \(L\);
• \(\overrightarrow{KL}\): от \(K\) к \(L\);
• \(\overrightarrow{MS}\): от \(M\) к \(S\);
• \(\overrightarrow{SN}\): от \(S\) к \(N\);
• \(\overrightarrow{MN}\): от \(M\) к \(N\);
• \(\overrightarrow{TS}\): от \(T\) к \(S\);
• \(\overrightarrow{KM}\): от \(K\) к \(M\);
• \(\overrightarrow{TL}\): от \(T\) к \(L\);
• \(\overrightarrow{KT}\): от \(K\) к \(T\).

Правило: первая буква — начало стрелки, вторая — её конец. Например, для \(\overrightarrow{MS}\) стрелка начинается в точке \(M\), а наконечник находится в точке \(S\).

№ 965

Даны два неколлинеарных вектора \(\vec p\) и \(\vec q\), начала которых не совпадают. Векторы можно параллельно перенести, поэтому сначала перенеси \(\vec p\) и \(\vec q\) так, чтобы их начала совпали в точке \(O\).

Затем построй:

\[ \vec m=2\vec p-\frac12\vec q =2\vec p+\left(-\frac12\vec q\right); \]

\[ \vec n=\vec p+3\vec q; \]

\[ \vec l=-2\vec p-\frac12\vec q =(-2\vec p)+\left(-\frac12\vec q\right); \]

\[ \vec s=\frac23\vec q-\vec p =\frac23\vec q+(-\vec p). \]

Как строить

1. \(2\vec p\) — отложи в направлении \(\vec p\) отрезок в 2 раза длиннее \(\vec p\).
2. \(-\frac12\vec q\) — отложи в направлении, противоположном \(\vec q\), отрезок в 2 раза короче \(\vec q\).
3. Сложи \(2\vec p\) и \(-\frac12\vec q\) по правилу параллелограмма. Диагональ из \(O\) — это \(\vec m\).

Аналогично:

• для \(\vec n\): сложи \(\vec p\) и \(3\vec q\);
• для \(\vec l\): сложи \(-2\vec p\) и \(-\frac12\vec q\);
• для \(\vec s\): сложи \(\frac23\vec q\) и \(-\vec p\).

Минус перед вектором означает изменить его направление на противоположное.

Просто:

1. Перенеси \(\vec p\) и \(\vec q\), чтобы они начинались в одной точке.
2. Коэффициент перед стрелкой показывает, что делать с её длиной:
   • \(2\vec p\) — сделать стрелку в 2 раза длиннее;
   • \(\frac12\vec q\) — взять половину длины;
   • \(3\vec q\) — сделать в 3 раза длиннее;
   • знак «минус» — повернуть стрелку в обратную сторону.

Строй векторы по очереди, приставляя начало следующей стрелки к концу предыдущей. Потом проведи стрелку от самого начала к самому концу.

• \(\vec m=2\vec p-\frac12\vec q\): сначала \(2\vec p\), затем половину \(\vec q\) в обратную сторону.
• \(\vec n=\vec p+3\vec q\): сначала \(\vec p\), затем \(3\vec q\).
• \(\vec l=-2\vec p-\frac12\vec q\): сначала \(2\vec p\) в обратную сторону, затем половину \(\vec q\) в обратную сторону.
• \(\vec s=\frac23\vec q-\vec p\): сначала \(\frac23\vec q\), затем \(\vec p\) в обратную сторону.

Итоговая стрелка от начала до конца — это нужный вектор.

Понял. Для решения нужны координаты исходных векторов \(\vec p\) и \(\vec q\) и все 5 формул из № 965.

Если
\[ \vec p=(p_x,p_y),\qquad \vec q=(q_x,q_y), \] то для вектора
\[ \vec v=a\vec p+b\vec q \] координаты находят так: \[ \vec v=(ap_x+bp_x,\; ap_y+bq_y). \]

Пришли фото условия № 965 целиком или перепиши его — особенно пятую формулу.

А, понял: нужны просто 5 любых векторов на координатной плоскости. Вот готовый вариант.

Формула для вектора: \[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A). \]

То есть из координат конца вычитаем координаты начала.

Как построить на графике

1. Начерти координатные оси \(x\) и \(y\).
2. Отметь все указанные точки.
3. Соедини точки стрелками:
   • от \(A\) к \(B\);
   • от \(C\) к \(D\);
   • от \(E\) к \(F\);
   • от \(G\) к \(H\);
   • от \(P\) к \(Q\).
4. Наконечник стрелки ставь у второй буквы.

Формула: \[ \vec v=(x_{\text{конца}}-x_{\text{начала}};\ y_{\text{конца}}-y_{\text{начала}}). \]

По твоему рисунку координаты концов такие:

1. Вектор \(\vec a\)

Начало: \((-1;1)\), конец: \((-4;5)\).

\[ \vec a=(-4-(-1);\ 5-1)=\boxed{(-3;4)}. \]

2. Вектор \(\vec b\)

Начало: \((-2;-7)\), конец: \((4;-2)\).

\[ \vec b=(4-(-2);\ -2-(-7))=\boxed{(6;5)}. \]

3. Вектор \(\vec c\)

Начало: \((1;7)\), конец: \((4;4)\).

\[ \vec c=(4-1;\ 4-7)=\boxed{(3;-3)}. \]

4. Вектор \(\vec d\)

Начало: \((5;-2)\), конец: \((5;2)\).

\[ \vec d=(5-5;\ 2-(-2))=\boxed{(0;4)}. \]

5. Вектор \(\vec e\)

Начало: \((-4;-1)\), конец: \((-1;-4)\).

\[ \vec e=(-1-(-4);\ -4-(-1))=\boxed{(3;-3)}. \]

Ответ: \[ \boxed{\vec a=(-3;4),\quad \vec b=(6;5),\quad \vec c=(3;-3),\quad \vec d=(0;4),\quad \vec e=(3;-3).} \]

Да, не сходится, потому что в прошлом ответе я по ошибке взял другие точки. Исправляю для пяти векторов из нашей таблицы.

Формула: \[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A). \]

1. \[ \overrightarrow{AB}=(-1-(-4);\ 1-(-3))=(3;4). \]

2. \[ \overrightarrow{CD}=(0-(-4);\ 3-3)=(4;0). \]

3. \[ \overrightarrow{EF}=(2-0;\ 0-(-4))=(2;4). \]

4. \[ \overrightarrow{GH}=(1-4;\ -2-2)=(-3;-4). \]

5. \[ \overrightarrow{PQ}=(2-(-2);\ 3-0)=(4;3). \]

Правильный ответ: \[ \boxed{\overrightarrow{AB}=(3;4),\quad \overrightarrow{CD}=(4;0),\quad \overrightarrow{EF}=(2;4),\quad \overrightarrow{GH}=(-3;-4),\quad \overrightarrow{PQ}=(4;3).} \]