Как это все решается мне надо завтра все знать

Хорошо, понял: тебе нужен ход мыслей, а не только ответы. Разберём, какие свойства используются.

Контрольная работа № 1

1. Периметр фигуры

Если стороны равны \(x\) и \(5x\), то у прямоугольника или параллелограмма каждая сторона встречается дважды:

\[ P=2x+2\cdot5x=2(x+5x). \]

Периметр равен \(36\), поэтому:

\[ 2(x+5x)=36. \]

Сначала делим на 2:

\[ x+5x=18, \]

затем складываем подобные слагаемые:

\[ 6x=18,\qquad x=3. \]

Значит, стороны:

\[ x=3\text{ см},\qquad 5x=15\text{ см}. \]

Главная идея: если одна сторона в несколько раз больше другой, обозначаем меньшую через \(x\), а остальные выражаем через неё.

---

2. Периметр треугольника \(BOC\)

Точка \(O\) — середина диагоналей, поэтому диагонали делятся пополам. Если диагональ равна \(18\) см, то её половина:

\[ 18:2=9\text{ см}. \]

Поэтому:

\[ BO=OC=9\text{ см}. \]

Третья сторона треугольника дана:

\[ BC=14\text{ см}. \]

Периметр треугольника — это сумма трёх его сторон:

\[ P_{BOC}=BO+OC+BC=9+9+14=32\text{ см}. \]

Главная идея: сначала находишь все стороны именно нужного треугольника, потом складываешь их.

---

3. Углы ромба

У ромба диагональ является биссектрисой угла, то есть делит его пополам.

Если половина угла равна \(68^\circ\), то весь угол:

\[ 68^\circ+68^\circ=136^\circ. \]

Соседние углы параллелограмма, а значит и ромба, в сумме дают \(180^\circ\):

\[ 180^\circ-136^\circ=44^\circ. \]

Главная идея:

• угол, разделённый диагональю, нужно удвоить;
• соседний угол находится вычитанием из \(180^\circ\).

---

4. Равенство углов

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам. Точка \(O\) является центром поворота на \(180^\circ\):

\[ A\leftrightarrow C,\qquad D\leftrightarrow B. \]

Из условия \(AP=CK\) следует, что точка \(P\) при таком повороте переходит в точку \(K\).

Значит, угол

\[ \angle ADP \]

переходит в угол

\[ \angle CBK. \]

Поворот сохраняет величину углов, поэтому:

\[ \boxed{\angle ADP=\angle CBK}. \]

Главная идея: центральная симметрия сохраняет расстояния, углы и переводит соответствующие точки друг в друга.

---

5. Отношение отрезков и биссектриса

Дано:

\[ BP=6AP,\qquad AB=14\text{ см}. \]

Так как точка \(P\) лежит на отрезке \(AB\), то:

\[ AB=AP+PB. \]

Подставляем \(PB=6AP\):

\[ 14=AP+6AP=7AP. \]

Отсюда:

\[ AP=2\text{ см},\qquad BP=12\text{ см}. \]

Далее используется условие, что \(DP\) — биссектриса, и \(AB\parallel CD\).

Из свойства биссектрисы:

\[ \angle ADP=\angle PDC. \]

А из параллельности \(AB\parallel CD\):

\[ \angle PDC=\angle DPA. \]

Следовательно:

\[ \angle ADP=\angle DPA. \]

В треугольнике \(ADP\) равны два угла, значит, равны и стороны напротив них:

\[ AD=AP=2\text{ см}. \]

Если \(ABCD\) — параллелограмм, то его противоположные стороны равны, поэтому:

\[ P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(14+2)=32\text{ см}. \]

Главная идея: равные углы в треугольнике дают равные стороны.

---

6. Как доказать, что \(BKDM\) — параллелограмм

Рассматриваются треугольники \(BME\) и \(DKE\).

1. Углы \(\angle BEM\) и \(\angle DEK\) — вертикальные, поэтому они равны.
2. Так как \(BM\parallel DK\), углы \(\angle BME\) и \(\angle DKE\) равны как накрест лежащие.
3. Значит, треугольники подобны:

\[ \triangle BME\sim\triangle DKE. \]

По условию:

\[ ME=KE. \]

Значит, коэффициент подобия равен \(1\), поэтому соответствующие стороны тоже равны:

\[ BE=DE. \]

Получается, точка \(E\) — середина двух диагоналей:

• \(MK\), потому что \(ME=KE\);
• \(BD\), потому что \(BE=DE\).

Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Следовательно:

\[ \boxed{BKDM\text{ — параллелограмм}.} \]

---

Контрольная работа № 2

1. Периметр треугольника-серединника

Если стороны треугольника-серединника равны \(5\), \(6\) и \(7\) см, то периметр просто равен их сумме:

\[ P=5+6+7=18\text{ см}. \]

Главная идея: периметр — это сумма всех сторон.

---

2. Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[ m=\frac{a+b}{2}. \]

Основания равны \(4x\) и \(7x\), а средняя линия — \(44\) см:

\[ 44=\frac{4x+7x}{2}. \]

Складываем:

\[ 44=\frac{11x}{2}. \]

Умножаем на 2:

\[ 88=11x, \]

\[ x=8. \]

Теперь находим основания:

\[ 4x=4\cdot8=32\text{ см}, \]

\[ 7x=7\cdot8=56\text{ см}. \]

Главная идея: средняя линия трапеции — это среднее арифметическое её оснований.

---

3. Трапеция, описанная около окружности

Если в трапецию вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны:

\[ \text{сумма оснований}=\text{сумма боковых сторон}. \]

Основания равны \(6\) и \(12\) см:

\[ 6+12=18\text{ см}. \]

Значит, сумма боковых сторон тоже равна \(18\) см.

Периметр:

\[ P=(6+12)+18=18+18=36\text{ см}. \]

Главная идея: для четырёхугольника, описанного около окружности,

\[ a+c=b+d. \]

---

Что обязательно запомнить

1. Периметр — сумма всех сторон.
2. В параллелограмме диагонали делятся пополам.
3. В ромбе диагонали делят углы пополам.
4. При параллельных прямых накрест лежащие углы равны.
5. В равнобедренном треугольнике равным углам соответствуют равные стороны.
6. Средняя линия трапеции: \[ m=\frac{a+b}{2}. \]
7. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то это параллелограмм.
8. В описанном около окружности четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

В №3 нужен чертёж ромба с проведённой диагональю:

        B
       /|\
      / | \
     /  |  \
    A   |   C
     \  |  /
      \ | /
       \|/
        D

Если \(68^\circ\) — угол между стороной и диагональю, то диагональ делит угол ромба пополам:

\[ \angle B=2\cdot68^\circ=136^\circ, \qquad \angle A=180^\circ-136^\circ=44^\circ. \]

То есть углы ромба: \(136^\circ,44^\circ,136^\circ,44^\circ\).

В №4 начерти параллелограмм \(ABCD\):

• \(P\) — точка на стороне \(AB\);
• \(K\) — точка на противоположной стороне \(CD\);
• \(AP=CK\);
• проведи диагонали \(AC\) и \(BD\), их пересечение обозначь \(O\).

        D──────K──────C
       / \           /
      /   \         /
     /     \       /
    A───P───\─────B
        \   /
         \ /
          O

Схематично диагонали должны пересекаться в центре параллелограмма:

\[ A\leftrightarrow C,\qquad D\leftrightarrow B,\qquad P\leftrightarrow K. \]

Поэтому соответствующие углы равны:

\[ \angle ADP=\angle CBK. \]

№ 4 — решение через накрест лежащие углы

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, \(P\in AB\), \(K\in CD\), \(AP=CK\). Нужно доказать:

\[ \angle ADP=\angle CBK. \]

Проведём диагональ \(AC\).

Так как \(AD\parallel BC\), то при секущей \(AC\) накрест лежащие углы равны:

\[ \angle DAC=\angle BCA. \]

Так как \(AP\parallel CK\), то при той же секущей \(AC\):

\[ \angle CAP=\angle ACK. \]

Складываем эти равенства:

\[ \angle DAP =\angle DAC+\angle CAP =\angle BCA+\angle ACK =\angle BCK. \]

В параллелограмме противоположные стороны равны:

\[ AD=BC. \]

По условию:

\[ AP=CK. \]

Следовательно,

\[ \triangle DAP=\triangle BCK \]

по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие углы равны:

\[ \boxed{\angle ADP=\angle CBK}. \]