Тест по предмету «Геометрия» на тему «Параллельность прямых в пространстве»

Сформулируйте определение параллельных прямых в пространстве. Какие два условия должны выполняться для двух различных прямых \(a\) и \(b\)?

Через точку \(M\), не принадлежащую прямой \(a\), проведена прямая \(b\), параллельная \(a\). Сколько прямых, проходящих через точку \(M\), могут быть параллельны прямой \(a\)? Обоснуйте ответ.

В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) перечислите все рёбра, параллельные ребру \(AB\).

Даны прямые: \[ a:\ \begin{cases} x=1+2t,\\ y=-t,\\ z=3+t, \end{cases} \qquad b:\ \begin{cases} x=5+4s,\\ y=1-2s,\\ z=-1+2s. \end{cases} \] Определите взаимное расположение прямых \(a\) и \(b\). Ответ обоснуйте по их направляющим векторам и координатам точек.

Докажите: если прямая \(b\) не лежит в плоскости \(\alpha\) и параллельна некоторой прямой \(a\), лежащей в плоскости \(\alpha\), то прямая \(b\) параллельна плоскости \(\alpha\).