Конспект по присланным страницам

§ 80. Равенство векторов

Коллинеарные векторы

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

• Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
• Два ненулевых коллинеарных вектора могут быть:
  • сонаправленными — направлены одинаково;
  • противоположно направленными — направлены в разные стороны.
• Нулевой вектор не имеет определённого направления. Условно считается, что он сонаправлен с любым вектором.

Равные векторы

Векторы называются равными, если они:

1. сонаправлены;
2. имеют равные длины.

\[ \vec a=\vec b \quad\Longleftrightarrow\quad \vec a \text{ и } \vec b \text{ сонаправлены и } |\vec a|=|\vec b|. \]

Равные векторы могут быть отложены от разных точек. В этом случае они считаются одним и тем же вектором, отложенным от разных начал.

---

§ 81. Откладывание вектора от данной точки

Если точка \(A\) является началом вектора \(\vec a\), говорят, что вектор \(\vec a\) отложен от точки \(A\).

Основное свойство

От любой точки \(M\) можно отложить вектор, равный данному вектору \(\vec a\), причём сделать это можно только одним способом.

Построение

Пусть

\[ \vec a=\overrightarrow{AB}. \]

1. Через точку \(M\) проводят прямую, параллельную \(AB\).
2. На ней откладывают отрезок \(MN\), равный \(AB\).
3. Выбирают направление \(MN\), совпадающее с направлением \(\overrightarrow{AB}\).

Тогда

\[ \overrightarrow{MN}=\vec a. \]

Для нулевого вектора искомым будет вектор

\[ \overrightarrow{MM}=\vec 0. \]

---

§ 82. Сумма двух векторов

Пусть материальная точка переместилась из \(A\) в \(B\), а затем из \(B\) в \(C\). Общее перемещение из \(A\) в \(C\) равно:

\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}. \]

Правило треугольника

Чтобы сложить векторы \(\vec a\) и \(\vec b\):

1. От произвольной точки \(A\) откладывают вектор \(\overrightarrow{AB}=\vec a\).
2. От точки \(B\) откладывают вектор \(\overrightarrow{BC}=\vec b\).
3. Вектор \(\overrightarrow{AC}\) является суммой векторов \(\vec a\) и \(\vec b\):

\[ \vec a+\vec b=\overrightarrow{AC}. \]

Сумма не зависит от выбора начальной точки.

Частный случай

\[ \vec a+\vec 0=\vec a. \]

Для любых точек \(A\), \(B\), \(C\):

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]

Это равенство справедливо и тогда, когда некоторые точки совпадают.

---

§ 83. Законы сложения векторов

Для любых векторов \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) выполняются два закона.

1. Переместительный закон

\[ \vec a+\vec b=\vec b+\vec a. \]

От перестановки слагаемых сумма не изменяется.

2. Сочетательный закон

\[ (\vec a+\vec b)+\vec c = \vec a+(\vec b+\vec c). \]

При сложении трёх векторов можно по-разному группировать слагаемые — результат останется тем же.

Правило параллелограмма

Если два вектора отложены из одной точки, то их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Главное

• Равные векторы имеют одинаковое направление и равные длины.
• Вектор можно единственным образом отложить от любой точки.
• Сумма двух векторов находится по правилу треугольника или параллелограмма.
• При сложении векторов действуют переместительный и сочетательный законы.

Конспект по присланным страницам

1. Сумма нескольких векторов (§ 84)

Сложение нескольких векторов

Несколько векторов складывают последовательно: к сумме первых двух прибавляют третий и т. д.

Если векторы отложены последовательно:

\[ \overrightarrow{AB}=\vec a,\quad \overrightarrow{BC}=\vec b,\quad \overrightarrow{CD}=\vec c, \]

то

\[ \vec a+\vec b+\vec c=\overrightarrow{AD}. \]

Правило многоугольника

Если векторы расположены последовательно, «конец к началу», то их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом последнего:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} +\overrightarrow{A_2A_3} +\dots+ \overrightarrow{A_nA_{n+1}} = \overrightarrow{A_1A_{n+1}}. \]

Если многоугольник замкнут, то сумма его векторов равна нулевому вектору:

\[ \overrightarrow{A_1A_2} +\overrightarrow{A_2A_3} +\dots+ \overrightarrow{A_nA_1} =\vec 0. \]

Законы сложения векторов

Переместительный закон:

\[ \vec a+\vec b=\vec b+\vec a. \]

Сочетательный закон:

\[ (\vec a+\vec b)+\vec c = \vec a+(\vec b+\vec c). \]

Поэтому сумму нескольких векторов можно находить в любом порядке.

---

2. Вычитание векторов (§ 85)

Противоположный вектор

Вектор \(-\vec a\) называется противоположным вектору \(\vec a\), если:

• его длина равна длине \(\vec a\);
• он направлен противоположно \(\vec a\).

Для любого вектора:

\[ \vec a+(-\vec a)=\vec 0. \]

Нулевой вектор противоположен самому себе.

Разность векторов

Разностью векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) называется такой вектор, который в сумме с \(\vec b\) даёт \(\vec a\):

\[ (\vec a-\vec b)+\vec b=\vec a. \]

Разность можно представить как сложение с противоположным вектором:

\[ \boxed{\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)}. \]

Построение разности

Из одной точки \(O\) откладывают векторы:

\[ \overrightarrow{OA}=\vec a,\qquad \overrightarrow{OB}=\vec b. \]

Тогда

\[ \boxed{\vec a-\vec b=\overrightarrow{BA}}. \]

То есть разность направлена от конца вектора \(\vec b\) к концу вектора \(\vec a\).

---

3. Умножение вектора на число (§ 86)

Произведением ненулевого вектора \(\vec a\) на число \(k\) называется вектор \(k\vec a\), длина которого равна:

\[ |k\vec a|=|k|\cdot|\vec a|. \]

Направление произведения:

• если \(k>0\), то \(k\vec a\) сонаправлен с \(\vec a\);
• если \(k<0\), то \(k\vec a\) направлен противоположно \(\vec a\);
• если \(k=0\), то

\[ 0\vec a=\vec 0. \]

Произведение нулевого вектора на любое число также является нулевым вектором:

\[ k\vec 0=\vec 0. \]

Векторы \(\vec a\) и \(k\vec a\) всегда коллинеарны.

Основные свойства

Для любых чисел \(k\), \(l\) и векторов \(\vec a\), \(\vec b\):

1. Сочетательный закон:

\[ (kl)\vec a=k(l\vec a). \]

2. Первый распределительный закон:

\[ (k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a. \]

3. Второй распределительный закон:

\[ k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b. \]

Преобразование выражений

С векторными выражениями выполняют преобразования по тем же правилам, что и с числовыми:

\[ \vec p= 2(\vec a-\vec b)+(\vec c+\vec a) -3(\vec b-\vec c+\vec a). \]

Раскроем скобки:

\[ \vec p= 2\vec a-2\vec b+\vec c+\vec a -3\vec b+3\vec c-3\vec a. \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ \boxed{\vec p=-5\vec b+4\vec c}. \]

Главное

• Сумма последовательно отложенных векторов соединяет начало первого с концом последнего.
• Разность векторов — это сложение с противоположным вектором.
• При умножении вектора на число его длина умножается на модуль этого числа.
• Знак числа определяет направление полученного вектора.

Конспект § 87–88

§ 87. Применение векторов к решению задач

Векторы используют для решения геометрических задач и доказательства теорем.

1. Формула для середины отрезка

Пусть \(C\) — середина отрезка \(AB\), а \(O\) — произвольная точка. Тогда

\[ \boxed{\overrightarrow{OC} =\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)}. \]

Доказательство:

\[ \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}, \]

\[ \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}. \]

Складывая равенства, получаем:

\[ 2\overrightarrow{OC} =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} +\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right). \]

Так как \(C\) — середина \(AB\), то

\[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\vec 0. \]

Следовательно,

\[ \overrightarrow{OC} =\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right). \]

2. Применение к трапеции

Пусть \(ABCD\) — трапеция, \(M\) и \(N\) — середины оснований \(BC\) и \(AD\), а \(O\) — точка пересечения продолжений боковых сторон \(AB\) и \(CD\).

Треугольники \(OAD\) и \(OBC\) подобны, поэтому существует число \(k\), такое что

\[ \overrightarrow{OA}=k\overrightarrow{OB}, \qquad \overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OC}. \]

Так как \(M\) и \(N\) — середины оснований,

\[ \overrightarrow{OM} =\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right), \]

\[ \overrightarrow{ON} =\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\right). \]

Подставим выражения для \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OD}\):

\[ \overrightarrow{ON} =k\cdot\frac12 \left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right) =k\overrightarrow{OM}. \]

Векторы \(\overrightarrow{ON}\) и \(\overrightarrow{OM}\) коллинеарны, поэтому точки \(O\), \(M\), \(N\) лежат на одной прямой.

Вывод: прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений её боковых сторон.

---

§ 88. Средняя линия трапеции

Определение

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции:

1. параллельна основаниям;
2. равна их полусумме.

Если \(MN\) — средняя линия трапеции \(ABCD\), то

\[ \boxed{MN\parallel AD\parallel BC} \]

и

\[ \boxed{MN=\frac{AD+BC}{2}}. \]

Доказательство с помощью векторов

По правилу многоугольника:

\[ \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CN}, \]

\[ \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{DN}. \]

Складываем равенства:

\[ 2\overrightarrow{MN} =(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}) +(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}) +(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}). \]

Так как \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон,

\[ \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\vec 0, \]

\[ \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}=\vec 0. \]

Поэтому

\[ 2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}, \]

\[ \overrightarrow{MN} =\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right). \]

Векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) сонаправлены, поэтому

\[ MN=\frac{AD+BC}{2}. \]

Главное

• Середина отрезка позволяет выразить вектор через сумму двух других векторов.
• Коллинеарность векторов доказывает, что соответствующие точки лежат на одной прямой.
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

\[ \boxed{MN=\frac{AD+BC}{2}}. \]

В целом основная мысль правильная, но есть несколько важных исправлений.

1. Причины уступок императора лучше записать так:
   Император пошёл на уступки из-за усиления национального движения, особенно в Венгрии, и стремления сохранить империю. Требовались конституция, гражданские свободы и отмена бюрократического произвола.

2. Правильнее:
   Венгры не требовали полной независимости, а добивались восстановления конституции и широкой автономии, оставаясь в составе монархии Габсбургов.
   Пиши: «в составе», а не «в состав».

3. В третьем ответе должно быть:
   Только свобода народов и конституция могут сохранить и укрепить престол, а бюрократия лишь разрушает доверие подданных.
   Словосочетание «разрушает короны подданных» неверно.

4. В четвёртом ответе лучше написать:
   В 1867 г. был достигнут австро-венгерский компромисс. Венгрия получила собственное правительство и парламент, а общими остались монарх, армия и внешняя политика. Так возникла двуединая монархия — Австро-Венгрия.

Фраза «устранились все разногласия» неверна: правильнее — «был достигнут компромисс, который частично снял противоречия».

Краткий пересказ

Александр Сергеевич Грибоедов родился в 1795 году в старинной дворянской семье. Он получил хорошее образование, учился в Московском университете, знал несколько иностранных языков, интересовался музыкой, философией и политикой. Во время Отечественной войны 1812 года Грибоедов добровольно вступил в гусарский полк, но в сражениях не участвовал.

После службы он начал дипломатическую карьеру и писал пьесы. В 1815 году была поставлена его первая комедия «Молодые супруги». Главным произведением Грибоедова стала комедия «Горе от ума», которая при жизни автора полностью не печаталась, но широко распространялась в списках. В 1828 году он участвовал в заключении Туркманчайского договора и был назначен посланником в Персию. В том же году Грибоедов женился на Нине Чавчавадзе. В январе 1829 года он погиб в Тегеране при нападении на русскую дипломатическую миссию.

Да, вижу ошибки. Главные — пропущенные точки и запятые, неправильное оформление инициалов и названий произведений.

Что исправить

• А.С. → А. С.

• «родился точно неизвестно» → «Точная дата рождения неизвестна».

• Между частями длинных предложений нужны точки:

  Было:
  А. С. Грибоедов родился в старинной дворянской семье отставного секунд-майора…

  Лучше:
  А. С. Грибоедов родился в старинной дворянской семье. Его отец — отставной секунд-майор Сергей Иванович Грибоедов, а мать — Настасья Фёдоровна Грибоедова.

• Перед а, но ставится запятая:

  В 1806 году он поступил в Московский университет, а в 1810 году окончил его.

  Грибоедов вступил в гусарский полк, но в сражениях не участвовал.

• В 1815 написал первую комедию - "Молодые супруги" →
  В 1815 году он написал первую комедию — «Молодые супруги».

  Используй длинное тире — и кавычки « ».

• 1817-1818 → 1817–1818 — между годами ставится длинное тире.

Список произведений лучше оформить так

«Молодые супруги» (1815); «Студент» (1817, совместно с П. А. Катениным); «Притворная неверность» (1818, совместно с А. А. Жандром); «Своя семья, или замужняя невеста» (1817–1818, совместно с А. А. Шаховским и Н. И. Хмельницким); «Кто брат, кто сестра, или Обман за обманом» (1823, совместно с П. А. Вяземским); «Горе от ума» (1822–1824).

В конце

Правильно писать:

В 1828 году Грибоедов участвовал в заключении Туркманчайского договора. 30 января 1829 года он погиб в Тегеране во время нападения на русскую дипломатическую миссию.

Нижняя часть третьей фотографии плохо читается. Пришлёшь её крупнее, чтобы я проверил оставшийся текст построчно?

Да, теперь видно. Я проверил обе страницы. Ошибки есть не только в знаках препинания, но и в окончаниях, формулировках и датах.

Исправленный вариант

3. Первоначальное образование будущий драматург получил дома под руководством преподавателей Московского университета. В 1806 году он поступил в Московский университетский благородный пансион. В 1808 году стал студентом Московского университета, а в 1810 году окончил словесное отделение со степенью кандидата.

Проверь даты: на фото они читаются иначе, но обычно указывают 1806, 1808 и 1810 годы.

4. Он хорошо знал греческий и другие древние и восточные языки, увлекался философией, археологией и политикой, сочинял музыку, играл на фортепиано и обладал даром сочинительства.

5. В 1815 году он написал первую комедию — «Молодые супруги».

6. Во время Отечественной войны 1812 года Грибоедов добровольно записался в Московский гусарский полк в чине корнета, но в боях не участвовал. После войны он служил адъютантом при генерале А. С. Кологривове.

Слово «Да» в начале этого пункта лишнее.

7. Комедия «Молодые супруги» была поставлена в Малом театре.

8. В 1816 году он вышел в отставку, а в следующем году занял должность губернского секретаря в Коллегии иностранных дел. Позже Грибоедов служил секретарём русской дипломатической миссии в Персии, а в 1828 году был назначен полномочным министром России в Персии.

9. Произведения:

• «Молодые супруги» (1815);
• «Студент» (1817, совместно с П. А. Катениным);
• «Притворная неверность» (1818, совместно с А. А. Жандром);
• «Своя семья, или Замужняя невеста» (1817–1818, совместно с А. А. Шаховским и Н. И. Хмельницким);
• «Кто брат, кто сестра, или Обман за обманом» (1823, музыка А. Н. Верстовского и …).

В названиях нужны кавычки « », между годами — тире 1817–1818, а между пунктами списка — точка с запятой.

10. В начале 1822 года Грибоедов приехал в Тифлис, где генерал А. П. Ермолов определил его в ставку главноуправляющего Грузией по дипломатической части. Приехав в Петербург, Грибоедов работал над первыми актами, возил с собой рукопись и дорабатывал сцены, в частности сцену разоблачения Молчалина в глазах Софьи. При жизни автора комедия полностью не издавалась, но широко распространялась в списках: «Музейный автограф», «Жандровская рукопись». В отрывках комедия впервые была опубликована в альманахе Ф. В. Булгарина «Русская Талия».

11. При жизни драматурга комедия так и не была полностью опубликована.

12. В январе 1826 года Грибоедов был арестован по подозрению в причастности к декабристскому заговору. Следствие пришло к выводу, что он невиновен, и в июне 1826 года Грибоедов был освобождён.

13. В 1828 году Грибоедов женился на Нине Чавчавадзе, участвовал в заключении Туркманчайского договора. Деятельность осложнялась бедностью разорённой страны, антироссийскими настроениями и интригами англичан. В начале декабря 1828 года Грибоедов выехал в Тегеран.

14. Грибоедов трагически погиб 30 января 1829 года в Тегеране во время разгрома русской миссии фанатичной толпой, возмущённой тем, что Грибоедов предоставил убежище двум армянам-беглецам из гарема шаха. Тело дипломата было обезображено до неузнаваемости.

Главные ошибки: А. П., а не «А.П.»; фортепиано, а не «фортепьяно»; женился на Нине, а не «женился Нине»; перед «что», «а», «но» нужны запятые.