Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Разложим квадратный трёхчлен на множители. Нужно найти два числа, сумма которых равна \(5\), а произведение — \(6\):
\[ 2+3=5,\qquad 2\cdot3=6. \]
Тогда:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2, \] \[ x-3=0 \quad \Rightarrow \quad x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
3 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) — это неизвестное из исходного уравнения. Оно ниоткуда не появляется заново: мы просто записываем исходное выражение в другом виде.
1. Разложение на множители
Было:
\[ x^2-5x+6=0. \]
Мы заменили левую часть на равное ей выражение:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Это можно проверить раскрытием скобок:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
Поэтому уравнение принимает вид:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
2. Почему появляются \(x-2=0\) и \(x-3=0\)?
Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
\[ (x-2)=0 \quad \text{или} \quad (x-3)=0. \]
Переменная \(x\) находится внутри каждого множителя, потому что множители получены из исходного выражения с \(x\).
Теперь решаем два простых уравнения:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Значит, корни:
\[ \boxed{x=2 \text{ и } x=3}. \]
