337 338
Краткий ответ
337
а) \(\displaystyle F(x)=-\frac1x-10\)
б) \(\displaystyle F(x)=\tg x-1\)
в) \(\displaystyle F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac74\)
г) \(\displaystyle F(x)=-\cos x-2\)
338
а) \(\displaystyle F_{\text{общ}}(x)=\sin x-x\cos x+C\)
б) \(\displaystyle F_{\text{общ}}(x)=\sqrt{x^2+1}+C\)
в) \(\displaystyle F_{\text{общ}}(x)=\cos x+x\sin x+C\)
г) \(\displaystyle F_{\text{общ}}(x)=x-\frac1x+C\)
Здесь \(C\) — любая постоянная.
Объяснение
Если \(F'(x)=f(x)\), сначала находим первообразную с произвольной постоянной \(C\), затем используем заданное значение \(F\).
337
а)
\[
F(x)=\int\frac1{x^2}\,dx=\int x^{-2}\,dx=-\frac1x+C.
\]
Подставим \(x=\frac12\):
\[
-2+C=-12 \quad\Rightarrow\quad C=-10.
\]
Значит,
\[
\boxed{F(x)=-\frac1x-10}.
\]
б)
\[
F(x)=\int\frac1{\cos^2x}\,dx=\tg x+C.
\]
Так как \(F\left(\frac\pi4\right)=0\), то
\[
\tg\frac\pi4+C=0 \Rightarrow 1+C=0 \Rightarrow C=-1.
\]
\[
\boxed{F(x)=\tg x-1}.
\]
в)
\[
F(x)=\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C.
\]
Условие \(F(-1)=2\):
\[
\frac{(-1)^4}{4}+C=2
\Rightarrow \frac14+C=2
\Rightarrow C=\frac74.
\]
\[
\boxed{F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac74}.
\]
г)
\[
F(x)=\int\sin x\,dx=-\cos x+C.
\]
При \(x=-\pi\):
\[
-\cos(-\pi)+C=-1
\Rightarrow 1+C=-1
\Rightarrow C=-2.
\]
\[
\boxed{F(x)=-\cos x-2}.
\]
Проверка: производные найденных функций соответственно равны
\[
\frac1{x^2},\quad \frac1{\cos^2x},\quad x^3,\quad \sin x,
\]
а заданные значения выполняются.
338
Все первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную \(C\). Проверим производные:
\[ (\sin x-x\cos x)'=x\sin x; \]
\[ (\sqrt{x^2+1})'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}; \]
\[ (\cos x+x\sin x)'=x\cos x; \]
\[ \left(x-\frac1x\right)'=1+\frac1{x^2} =\frac{1+x^2}{x^2}. \]
Поэтому к каждой данной первообразной нужно добавить \(C\).
