у=-х²+2х+8 начерти график
Решение квадратного уравнения
Мне нужно решить квадратное уравнение y = -x² + 2x + 8. Сначала я дам краткий ответ, затем приведу основные шаги, такие как нахождение вершины, точек пересечения с осями и указание того, что эта парабола направлена ветвями вниз. Я могу использовать ASCII-представление графика, поскольку не могу создавать изображения. Важные детали включают вершину в точке (1, 9), точки пересечения с осью x в точках -2 и 4, а также точку пересечения с осью y в точке (0, 8). Я также составлю таблицу координат и плавно проведу параболическую кривую.
Создание текстового графика
Мне нужно создать текстовую схему графика, поскольку изображение не требуется. Использование ASCII для приблизительного отображения графика может хорошо подойти. Я могу использовать LaTex для аккуратного представления точек кривой вместо графики. Вершину (1, 9) и точки пересечения с осью x в точках -2 и 4 можно указать в списке координат. Я объясню метод построения графика, используя формат y = a(x-h)² + k, где a = -1, h = 1 и k = 9. Ветви направлены вниз. В завершение я опишу следующие шаги на русском языке.
Краткий ответ: график функции
\[
y=-x^2+2x+8
\]
— парабола, направленная ветвями вниз, с вершиной \(A(1;9)\) и осью симметрии \(x=1\).
1. Приведём функцию к удобному виду
\[ y=-x^2+2x+8=-(x^2-2x)+8=-(x-1)^2+9. \]
По формуле \(y=a(x-h)^2+k\):
- вершина: \((h;k)=(1;9)\);
- \(a=-1<0\), поэтому парабола направлена вниз;
- ось симметрии: \(x=1\).
2. Найдём точки пересечения с осями
С осью \(Ox\):
\[ -x^2+2x+8=0, \]
\[ x^2-2x-8=0, \]
\[ (x-4)(x+2)=0. \]
Получаем точки:
\[ (-2;0),\qquad (4;0). \]
С осью \(Oy\):
\[ x=0,\qquad y=8, \]
поэтому точка — \((0;8)\).
3. Таблица точек
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-2&-1&0&1&2&3&4\\ \hline y&0&5&8&9&8&5&0 \end{array} \]
Нанеси точки \((-2;0)\), \((-1;5)\), \((0;8)\), \((1;9)\), \((2;8)\), \((3;5)\), \((4;0)\) и соедини их плавной линией:
y
9 ● (1;9)
8 ● ●
7
6
5 ● ●
4
3
2
1
0 ●──────────────────────────────●── x
-2 -1 0 1 2 3 4
Итог: вершина параболы — \((1;9)\), нули функции — \(x=-2\) и \(x=4\), ветви направлены вниз.
Обсуждение
5 сообщенийY = 1/3 x²-4x+4
Для функции
\[
y=\frac13x^2-4x+4
\]
график — парабола, направленная вверх.
1. Найдём вершину
Преобразуем функцию:
\[ y=\frac13(x^2-12x)+4 =\frac13\bigl((x-6)^2-36\bigr)+4 =\frac13(x-6)^2-8. \]
Значит:
- вершина параболы: \(\boxed{(6;-8)}\);
- ось симметрии: \(\boxed{x=6}\);
- ветви направлены вверх.
2. Точки пересечения с осями
С осью \(Oy\):
\[ x=0,\qquad y=4, \]
точка \((0;4)\).
С осью \(Ox\):
\[ \frac13x^2-4x+4=0, \]
\[ x^2-12x+12=0, \]
\[ x=6\pm2\sqrt6. \]
Приблизительно:
\[ x_1\approx1{,}1,\qquad x_2\approx10{,}9. \]
3. Таблица точек
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&0&2&4&6&8&10&12\\ \hline y&4&-\frac83&-\frac{20}{3}&-8&-\frac{20}{3}&-\frac83&4 \end{array} \]
Схематичный график
y
4 ●\ /●
| \ /
0 +---\-----------------------------/---- x
| \ /
-2 | \ /
-4 | \ /
-6 | \ /
-8 | ● (6;−8)
+--------------------------------------
0 2 4 6 8 10 12
Построй точки и соедини их плавной линией. Получится парабола с вершиной \(\boxed{(6;-8)}\).
Осени как делать
Конечно, объясню, как построить график функции
\[
y=\frac13x^2-4x+4.
\]
1. Определи вид графика
Это квадратная функция:
\[ y=ax^2+bx+c, \]
где \(a=\frac13>0\). Значит, график — парабола, ветви направлены вверх.
2. Найди вершину параболы
Координата \(x\) вершины находится по формуле:
\[ x_0=-\frac{b}{2a}. \]
Здесь \(b=-4\), \(a=\frac13\):
\[ x_0=-\frac{-4}{2\cdot\frac13} =\frac{4}{\frac23}=6. \]
Теперь найдём \(y_0\):
\[ y_0=\frac13\cdot6^2-4\cdot6+4 =12-24+4=-8. \]
Вершина:
\[ \boxed{(6;-8)}. \]
Ось симметрии:
\[ \boxed{x=6}. \]
3. Составь таблицу точек
Берём значения \(x\), расположенные симметрично относительно \(6\):
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&3&6&9&12\\ \hline y&4&-5&-8&-5&4 \end{array} \]
Например, при \(x=3\):
\[ y=\frac13\cdot3^2-4\cdot3+4 =3-12+4=-5. \]
Получаем точки:
\[ (0;4),\ (3;-5),\ (6;-8),\ (9;-5),\ (12;4). \]
4. Построй график
- Отметь эти точки на координатной плоскости.
- Точку \((6;-8)\) сделай самой нижней.
- Проведи через точки плавную линию — получится парабола, направленная вверх.
y
4 ● ●
| \ /
0 | \ /
| \ /
-5 | ● ●
| \ /
-8 | ●
+------------------------------ x
0 3 6 9 12
Главное: вершина \((6;-8)\), ось \(x=6\), ветви вверх.
Покажу на примере твоей функции:
\[ y=\frac13x^2-4x+4. \]
1. Найди вид функции и вершину
Представим функцию в виде:
\[ y=\frac13(x-6)^2-8. \]
Значит:
- вершина параболы: \(\boxed{(6;-8)}\);
- ось симметрии: \(\boxed{x=6}\);
- так как \(\frac13>0\), ветви направлены вверх.
2. Выбери точки симметрично относительно вершины
От вершины удобно отступать по \(x\) на 3 и 6 единиц.
Отступаем на 3:
\[ y=-8+\frac13\cdot3^2=-8+3=-5. \]
Получаются две точки:
\[ (6-3;-5)=(3;-5), \] \[ (6+3;-5)=(9;-5). \]
Отступаем на 6:
\[ y=-8+\frac13\cdot6^2=-8+12=4. \]
Получаются точки:
\[ (0;4),\qquad (12;4). \]
Таблица точек
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&3&6&9&12\\ \hline y&4&-5&-8&-5&4 \end{array} \]
3. Построй график
- Отметь вершину \((6;-8)\).
- Проведи пунктиром ось симметрии \(x=6\).
- Отметь точки \((3;-5)\), \((9;-5)\), \((0;4)\), \((12;4)\).
- Соедини точки плавной линией, а не отрезками.
y
4 ● ●
| \ /
0 | \ /
-5 | ● ●
| \ /
-8| ●
+------------------------------ x
0 3 6 9 12
↑
вершина
Главное правило: точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от оси \(x=6\), имеют одинаковые значения \(y\). Поэтому парабола симметрична относительно прямой \(x=6\).
