Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. а) \(4\); б) \(5\); в) \(72\).

2. а) \(\left|3a^2b^3\right|=3a^2|b|^3\)
   (если \(a,b\ge 0\), то \(3a^2b^3\));
   б) \(2x^7y\sqrt[5]{y^3}\).

3. а) \(x=-\dfrac{59}{2}\); б) \(x=4,5\); в) \(x=10\); г) \(x=5\).

4. а) \(x\in\left[-\dfrac13;\dfrac{35}{3}\right)\);
   б) \(x\in\left(-\infty;-\dfrac{13}{5}\right)\);
   в) \(x\in\left[\dfrac57;\dfrac34\right)\).

5. График \(y=3x^4\) — симметричная относительно оси \(Oy\) ветвь, проходящая через точку \((0;0)\).

---

1. Вычислить

а)

\[ \sqrt[3]{64}=4. \]

б)

\[ \sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{125} =\sqrt[4]{625} =\sqrt[4]{5^4}=5. \]

в)

\[ \sqrt[5]{3^{10}\cdot2^{15}} =\sqrt[5]{(3^2)^5(2^3)^5} =3^2\cdot2^3=9\cdot8=72. \]

---

2. Упростить

а)

\[ \sqrt[4]{81a^8b^{12}} =\sqrt[4]{(3a^2b^3)^4} =\left|3a^2b^3\right|. \]

Так как \(a^2\ge0\), можно записать:

\[ \boxed{3a^2|b|^3}. \]

Если по условию переменные считаются неотрицательными, ответ будет \(3a^2b^3\).

б)

\[ \sqrt[5]{4x^{27}}\cdot\sqrt[5]{8x^8y^8} =\sqrt[5]{32x^{35}y^8}. \]

Выделим полные пятые степени:

\[ 32x^{35}y^8 =2^5(x^7)^5y^5y^3. \]

Поэтому

\[ \sqrt[5]{32x^{35}y^8} =2x^7y\sqrt[5]{y^3}. \]

---

3. Решить уравнения

а)

\[ \sqrt{5-2x}=8. \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ 5-2x=64, \] \[ -2x=59, \] \[ \boxed{x=-\frac{59}{2}}. \]

Проверка: \(5-2\left(-\frac{59}{2}\right)=64\), \(\sqrt{64}=8\).

б)

\[ \sqrt{x^2-9x+24}=2. \]

\[ x^2-9x+24=4, \] \[ x^2-9x+20=0, \] \[ (x-4)(x-5)=0. \]

\[ \boxed{x=4,\;5}. \]

в)

\[ \sqrt[3]{12x+5}=5. \]

Возведём в куб:

\[ 12x+5=125, \] \[ 12x=120, \] \[ \boxed{x=10}. \]

г)

\[ \sqrt{2x+6}=x-1. \]

Правая часть должна быть неотрицательной:

\[ x-1\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge1. \]

Возводим в квадрат:

\[ 2x+6=(x-1)^2, \] \[ 2x+6=x^2-2x+1, \] \[ x^2-4x-5=0, \] \[ (x-5)(x+1)=0. \]

Корни: \(x=5\) и \(x=-1\). Условию \(x\ge1\) подходит только

\[ \boxed{x=5}. \]

---

4. Решить неравенства

а)

\[ \sqrt{3x+1}<6. \]

ОДЗ:

\[ 3x+1\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge-\frac13. \]

Возводим в квадрат:

\[ 3x+1<36, \] \[ 3x<35, \] \[ x<\frac{35}{3}. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left[-\frac13;\frac{35}{3}\right)}. \]

б)

\[ \sqrt{3-5x}>4. \]

\[ 3-5x>16, \] \[ -5x>13, \] \[ \boxed{x<-\frac{13}{5}}. \]

в)

\[ \sqrt{7x-5}<\sqrt{4-5x}. \]

ОДЗ:

\[ 7x-5\ge0 \Rightarrow x\ge\frac57, \] \[ 4-5x\ge0 \Rightarrow x\le\frac45. \]

Обе части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат:

\[ 7x-5<4-5x, \] \[ 12x<9, \] \[ x<\frac34. \]

С учётом ОДЗ:

\[ \boxed{x\in\left[\frac57;\frac34\right)}. \]

---

5. График и свойства функции \(y=3x^4\)

Для построения удобно взять точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=3x^4&48&3&0&3&48 \end{array} \]

График проходит через точки:

\[ (-2;48),\;(-1;3),\;(0;0),\;(1;3),\;(2;48). \]

Это плавная кривая, симметричная относительно оси \(Oy\), с наименьшей точкой \((0;0)\).

Свойства функции

• область определения: \[ D(f)=\mathbb R; \]
• область значений: \[ E(f)=[0;+\infty); \]
• функция чётная, так как \[ f(-x)=3(-x)^4=3x^4=f(x); \]
• убывает на \((-\infty;0]\);
• возрастает на \([0;+\infty)\);
• имеет минимум: \[ y_{\min}=0 \quad \text{при }x=0; \]
• наибольшего значения нет;
• нуль функции: \[ x=0; \]
• \(y>0\) при \(x\ne0\).