Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. а) \(4\); б) \(5\); в) \(72\).

2. а) \(3a^2|b|^3\)
   (если \(a,b\ge 0\), то \(3a^2b^3\));
   б) \(2x^2y^3\).

3. а) \(x=-\dfrac{59}{2}\);
   б) \(x=4,\;5\);
   в) \(x=10\);
   г) \(x=5\).

4. а) \(x\in\left[-\dfrac13;\dfrac{35}{3}\right)\);
   б) \(x\in\left(-\infty;-\dfrac{13}{5}\right)\);
   в) \(x\in\left[\dfrac57;\dfrac34\right)\).

5. Для \(y=3x^4\): график симметричен относительно оси \(Oy\), проходит через точки \((0;0)\), \((\pm1;3)\), \((\pm2;48)\), имеет минимум в точке \((0;0)\).

---

Решение

1. Вычислить

а)

\[ \sqrt[3]{64}=4, \]

так как \(4^3=64\).

б)

\[ \sqrt[4]{5}\cdot\sqrt[4]{125} =\sqrt[4]{5\cdot125} =\sqrt[4]{625} =5. \]

в)

\[ \sqrt[5]{3^{10}\cdot2^{15}} =3^{10:5}\cdot2^{15:5} =3^2\cdot2^3 =9\cdot8=72. \]

---

2. Упростить

а)

\[ \sqrt[4]{81a^8b^{12}} =\sqrt[4]{3^4\cdot(a^2)^4\cdot(b^3)^4}. \]

Так как корень четвёртой степени из четвёртой степени даёт модуль,

\[ \sqrt[4]{81a^8b^{12}} =3a^2|b|^3. \]

Если по условию \(b\ge0\), то ответ записывают как \(3a^2b^3\).

б)

\[ \begin{aligned} \sqrt[5]{4x^2y^7}\cdot\sqrt[5]{8x^8y^8} &=\sqrt[5]{32x^{10}y^{15}}\\ &=\sqrt[5]{2^5(x^2)^5(y^3)^5}\\ &=2x^2y^3. \end{aligned} \]

---

3. Решить уравнение

а)

\[ \sqrt{5-2x}=8. \]

Возводим обе части в квадрат:

\[ 5-2x=64, \]

\[ -2x=59,\qquad x=-\frac{59}{2}. \]

Проверка:

\[ \sqrt{5-2\left(-\frac{59}{2}\right)} =\sqrt{64}=8. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=-\frac{59}{2}}. \]

б)

\[ \sqrt{x^2-9x+24}=2. \]

Возводим в квадрат:

\[ x^2-9x+24=4, \]

\[ x^2-9x+20=0, \]

\[ (x-4)(x-5)=0. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x=4,\;5}. \]

Проверка: при \(x=4\) и \(x=5\) подкоренное выражение равно \(4\), поэтому корень равен \(2\).

в)

\[ \sqrt[3]{12x+5}=5. \]

Возводим обе части в третью степень:

\[ 12x+5=125, \]

\[ 12x=120,\qquad \boxed{x=10}. \]

г)

\[ \sqrt{2x+6}=x-1. \]

Правая часть должна быть неотрицательной:

\[ x-1\ge0,\qquad x\ge1. \]

Возводим в квадрат:

\[ 2x+6=(x-1)^2, \]

\[ 2x+6=x^2-2x+1, \]

\[ x^2-4x-5=0, \]

\[ (x-5)(x+1)=0. \]

Получаем \(x=5\) или \(x=-1\), но условию \(x\ge1\) удовлетворяет только \(x=5\).

Ответ:

\[ \boxed{x=5}. \]

---

4. Решить неравенство

а)

\[ \sqrt{3x+1}<6. \]

ОДЗ:

\[ 3x+1\ge0,\qquad x\ge-\frac13. \]

Возводим в квадрат:

\[ 3x+1<36, \]

\[ 3x<35,\qquad x<\frac{35}{3}. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left[-\frac13;\frac{35}{3}\right)}. \]

б)

\[ \sqrt{3-5x}>4. \]

ОДЗ:

\[ 3-5x\ge0,\qquad x\le\frac35. \]

Возводим в квадрат:

\[ 3-5x>16, \]

\[ -5x>13,\qquad x<-\frac{13}{5}. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac{13}{5}\right)}. \]

в)

\[ \sqrt{7x-5}<\sqrt{4-5x}. \]

ОДЗ:

\[ 7x-5\ge0,\qquad 4-5x\ge0, \]

\[ x\ge\frac57,\qquad x\le\frac45. \]

Обе части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат:

\[ 7x-5<4-5x, \]

\[ 12x<9,\qquad x<\frac34. \]

С учётом ОДЗ:

\[ \boxed{x\in\left[\frac57;\frac34\right)}. \]

---

5. График функции \(y=3x^4\)

Составим таблицу:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=3x^4&48&3&0&3&48 \end{array} \]

Отметьте точки

\[ (-2;48),\;(-1;3),\;(0;0),\;(1;3),\;(2;48) \]

и соедините их плавной линией. Получится симметричная относительно оси \(Oy\) ветвь четвёртой степени.

Свойства функции:

• область определения: \(\mathbb R\);
• область значений: \([0;+\infty)\);
• функция чётная, так как \[ f(-x)=3(-x)^4=3x^4=f(x); \]
• убывает на \((-\infty;0]\);
• возрастает на \([0;+\infty)\);
• наименьшее значение \(y=0\) достигается при \(x=0\);
• нуль функции: \(x=0\);
• \(y>0\) при \(x\ne0\);
• функция не ограничена сверху.