Реши задание на изображении

Краткий ответ:

15) \(732,\ 792,\ 924,\ 984\).

16) \(3024,\ 6024,\ 9024,\ 3468,\ 6468,\ 9468\).

Задание 15

Пусть задуманное число имеет вид \(\overline{abc}\). Тогда обратное число — \(\overline{cba}\).

\[ (100a+10b+c)-(100c+10b+a)=495 \]

\[ 99(a-c)=495 \quad\Rightarrow\quad a-c=5. \]

Значит,

\[ a=c+5. \]

Так как \(c\neq 0\) и \(a\leq 9\), возможны \(c=1,2,3,4\).

Число должно делиться на \(12\), то есть одновременно делиться на \(3\) и \(4\).

• \(c=1\) или \(c=3\): последняя цифра нечётная, поэтому число не делится на \(4\).

• \(c=2,\ a=7\): последняя цифра числа \(10b+2\) делится на \(4\), если \(b\) нечётная. По признаку делимости на \(3\): \[ 7+b+2=9+b \] должно делиться на \(3\). Получаем \(b=3,9\).

  Числа: \(732,\ 792\).

• \(c=4,\ a=9\): для делимости на \(4\) \(b\) должно быть чётным. По признаку делимости на \(3\): \[ 9+b+4=13+b \] должно делиться на \(3\). Получаем \(b=2,8\).

  Числа: \(924,\ 984\).

Проверка:

\[ 732-237=495,\quad 792-297=495, \] \[ 924-429=495,\quad 984-489=495. \]

Все эти числа делятся на \(12\).

Задание 16

Пусть цифры четырёхзначного числа — \(a,b,c,d\).

По условию:

\[ c=b+2,\qquad d=c+2=b+4. \]

Так как \(d\leq 9\), то \(b=0,1,2,3,4,5\).

Число делится на \(12\), значит, оно делится на \(3\) и на \(4\).

Признак делимости на 3:

\[ a+b+(b+2)+(b+4)=a+3b+6. \]

Числа \(3b\) и \(6\) делятся на \(3\), поэтому \(a\) должна делиться на \(3\):

\[ a=3,\ 6,\ 9. \]

Признак делимости на 4:

Последние две цифры образуют число

\[ \overline{cd}=10(b+2)+(b+4)=11b+24. \]

Требуется:

\[ 11b+24\equiv 0\pmod 4. \]

Так как \(11\equiv 3\pmod 4\), получаем \(3b\equiv0\pmod4\), значит, \(b\) кратно \(4\).

Из \(b=0,1,2,3,4,5\) подходят:

\[ b=0\quad\text{или}\quad b=4. \]

• При \(b=0\): число имеет вид \(\overline{a024}\): \[ 3024,\ 6024,\ 9024. \]

• При \(b=4\): число имеет вид \(\overline{a468}\): \[ 3468,\ 6468,\ 9468. \]

Например:

\[ 3024=12\cdot252,\qquad 3468=12\cdot289, \]

поэтому найденные числа действительно делятся на \(12\).