Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(269\) — простое число.
2. Первое простое число после \(133\) — \(137\).
3. Число \(p+19\) — составное.

Решение

1. Проверим число \(269\).

Достаточно проверить простые делители, не превышающие \(\sqrt{269}<17\): \(2,3,5,7,11,13\).

• на \(2\) не делится — число нечётное;
• на \(3\) не делится: \(2+6+9=17\);
• на \(5\) не делится — последняя цифра не \(0\) и не \(5\);
• \(269=7\cdot38+3\);
• \(269=11\cdot24+5\);
• \(269=13\cdot20+9\).

Других делителей нет, значит, \(269\) — простое число.

2. Числа после \(133\):

• \(134\) — чётное, составное;
• \(135\) делится на \(3\), составное;
• \(136\) — чётное, составное.

Проверим \(137\). Так как \(\sqrt{137}<12\), достаточно проверить делимость на \(2,3,5,7,11\):

\[ 137=7\cdot19+4,\qquad 137=11\cdot12+5. \]

На \(2,3,5\) число также не делится. Значит, \(137\) — простое и является первым простым числом после \(133\).

3.

Простое число \(p>100\) нечётное, потому что единственное чётное простое число — \(2\). Число \(19\) тоже нечётное, поэтому

\[ p+19=\text{нечётное}+\text{нечётное}=\text{чётное}. \]

Кроме того,

\[ p+19>100+19=119>2. \]

Значит, \(p+19\) — чётное число, большее \(2\), следовательно, составное.